Probar que el producto de un número entero y un número entero impar es aún

Question

Es esto una prueba de la correcta?

Teorema: El producto de un número entero y un número entero impar es par.

Prueba: Supongamos $a$ $b$ ser números enteros. Suponga $a$ es incluso y $b$ es impar, de modo que existe un entero$p$, de modo que $a=2p$ y existe un entero $q$, de modo que $b=2q+1$. Si $a \cdot b$ es incluso entonces, por definición de, incluso, existe un entero $r$ tal que $a \cdot b = 2r$. Así que tenemos $a \cdot b = (2p) (2q+1) = 2r$ donde $r$ es un número entero.

Por lo tanto, $a \cdot b$ es incluso.

Answer 1

No. Usted está asumiendo lo que usted está tratando de demostrar.

Considere la posibilidad de esta "prueba" (el mismo que el tuyo pero voy a reemplazar el texto en color gris con texto en rojo:

Teorema: El producto de un número entero y un número entero impar es $\color{gray}{\text{even}}$ $\color{red}{\text{odd}}$.

Prueba: Supongamos $a$ y $b$ ser números enteros. Suponga $a$ es incluso y $b$ es impar, de modo que existe un entero$k$, de modo que $a=2k$ y existe un entero $q$, de modo que $b=2q+1$. Si $a⋅b$ es $\color{gray}{\text{even}}$ $\color{red}{\text{odd}}$ entonces, por definición de$\color{gray}{\text{even}}$ $\color{red}{\text{odd}}$ existe un entero $r$ tal que $\color{gray}{a*b=2r}$ $\color{red}{a*b=2r+1}$. Así tenemos $a⋅b=(2p)(2q+1)=\color{gray}{2r}$ $\color{red}{2r+1}$, donde $r$

es un número entero.

Por lo tanto,$ a⋅b$ es $\color{gray}{\text{even}}$ $\color{red}{\text{odd}}$.

Answer 2

La idea básica es correcta, pero no se presenta precisamente.

Si ab es incluso entonces, por definición de, incluso, existe un entero r tal que ab = 2r. Así que tenemos ab=(2p)(2t+1)=2r,donde r es un entero. Por lo tanto,ab es aún.

¿Por qué "si"? Lo que usted necesita es más bien la otra dirección, de manera que: Si $ab=2r$ para un entero $r$, $ab$ es incluso. Tenemos $ab = 2p(2q+1)= 2(p(2q+1))$. Desde $p(2q+1)$ es un número entero, el reclamo de la siguiente manera, la configuración de $r = p(2q+1)$.

Como se mencionó en un comentario, que no es realmente necesario decir $b=2q+1$. Es más sencillo trabajar con $b$ directamente en este caso.

Si $ab=2r$ para un entero $r$, $ab$ es incluso. Tenemos $ab = 2pb= 2(pb)$. Desde $pb$ es una enteros, el reclamo de la siguiente manera, eligiendo $r = pb$.

Un punto adicional, se uso una vez a $p$ y una vez $k$ para la misma cosa.

Answer 3

Esta prueba no está claramente escrito, se podría interpretar como que usted acredite su declaración por si la primera para ser verdad (sin embargo, no en la perspectiva de sentido. Esto podría ser una manera más clara:

Deje $a=2n$ (ie $a$ es incluso) y $b=2m+1$ (ie $b$ es impar). A continuación, el producto $ab$ es: $$\begin{array}{rcl} ab & = & (2n)(2m+1) \\ & = & 2(n(2m+1)) \end{array} $$ Dejando $k=n(2m+1)$, esto le da a $ab=2k$, lo que implica $ab$ es incluso (desde $k$ es un número entero).

Edit: después de haber visto la actualización de la pregunta, su trabajo es correcta, sin embargo, podría ser más explícito lo su $r$ es.

Answer 4

$a$ incluso $\implies a=2n:n\in\mathbb{Z}$

$b$ es extraño $\implies b=2m+1:m\in\mathbb{Z}$

$ab=2nm+2n=2n(m+1)$

$2n$ factores $2n(m+1)\implies ab$ es incluso.

Answer 5

Creo que la prueba se aclara si usted usa la Propiedad Distributiva totalmente: ab = (2n)(2m + 1) = (2n2m) + 2n = 2( 2mn + n ) sólo UNO de los 2 se retira de la primera de producto Puesto que m y n son enteros, ab siempre tendrá un factor de 2 entre sus factores Primos.