Análisis Real De Calificación Examen De Preguntas De Práctica

Question

Yo estoy haciendo algunas preguntas de práctica para un análisis real examen de calificación que vienen en un par de semanas. Tengo un par de preguntas, es decir, en la "si la afirmación es verdadera, lo demuestran. De lo contrario, dar un contraejemplo" preguntas.

a) En un infinito-dimensional espacio de Hilbert $H$, para cualquier débilmente convergente secuencia $\left\lbrace x_n \right\rbrace$, existe una larga que es convergente con respecto a la norma

b) Desde dos integrales iteradas existen y $$\int_{(0,1)}\int_{(0,1)} \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} dm(x)dm(y) = \int_{(0,1)}\int_{(0,1)} \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} dm(y)dm(x)$$ podemos concluir, a través de la Tonelli-teorema de Fubini, que el doble de la integral existe.

c) existe una función de $f \geq 0$ $(0, \infty))$ tal que $f \in L^p((0,\infty)$ si y sólo si $p=1$

No tengo idea de cómo resolver una parte.

Para b, creo que la respuesta es verdadera, ya que puede cambiar el orden de integración si el interior de la integral es finito, y puesto que la integral existe, por supuesto, que soluciona b.

Para c, creo que la respuesta debe ser verdadera y la función debe ser alguna versión modificada de $\frac{1}{x}$. El espacio en el papel para que esta respuesta es bastante corto, por lo que no debería ser simple contraejemplo de esta forma, pensaba yo, pero no puedo construir correctamente.

Cualquier ayuda sería tremendamente apreciado!-

Answer 1

una. $\{\sin(n\cdot)\}$ converge débilmente a $0$ $L^2([0,2\pi])$ pero $$\int_0^{2\pi}\sin^2(nx)\,dx = \pi - \frac{\sin(4\pi n)}{4n} \ge 1.$$ To show that this provides a counterexample to the statement recall that if a subsequence converges strongly then it converges strongly to the weak limit, which in this case is $0$. Hence we would have $$1 \le \lim_{k\to \infty}\|\sin(n_k\cdot)\|_{L^2} = 0.$$

b. Las integrales iteradas no son iguales.

c. Vamos $$ f = \begin{cases} \frac{1}{(\log x)^2 x} & \text{if}\ x \in (0,0.5) \\ \frac{1}{x^2} &\ \text{otherwise.} \end{casos} $$

A continuación, $f$ es positivo y integrables, sino $f \notin L^p$ cualquier $p > 1$ desde la singularidad en $0$ no es integrable. De hecho, vamos a $p = 1 + 2\epsilon$,$\epsilon > 0$. Entonces, para $x$ pequeña $$|f(x)|^p = \frac{1}{x^{1 + \epsilon}}\frac{1}{|\log x|^{2p}x^{\epsilon}} \ge \frac{1}{x^{1 + \epsilon}} \notin L^1.$$ La última desigualdad se deduce del hecho de que $$\lim_{x \to 0} (\log x)^{2p}x^{\epsilon} = 0,$$ so that we can find $\delta < \frac 12$ such that if $x < \delta$ then $$\frac{1}{|\log x|^{2p}x^{\epsilon}} \ge 1.$$