r-dimensional de malla pregunta

Question

Estoy tratando de calcular la distancia media entre dos nodos en una $r$-dimensiones de la malla.

Esta es una $3$-dimensiones de la malla con $n=3$

Para elegir cualquiera de los dos puntos en la malla no se $\left(n^r \left(n^r - 1\right)\right)/2$ maneras de hacer esto.

Por tanto, si decidimos de 2 puntos en la malla $p\lbrace 1, 2, ..., r \rbrace$ $q\lbrace 1, 2, ..., r \rbrace$ La distancia se calcula como la Distancia de Manhattan

$\sum_{i=1}^{r} \left| {q_i - p_i} \right|$

Ahora tengo que encontrar la distancia total entre todos los nodos, y se divide por el número de maneras de escoger dos nodos (antes mencionada).

Yo sé cómo hacer esto mirando este hotel de 3-dimensional caso que se debe trabajar en el r-dimensional caso también, pero estoy teniendo problemas para expresar en una especie de suma de notación.

Esto es lo que yo creo que puede obtener la distancia total entre todos los nodos, espero que esto está claro.

En esta malla 3-d vamos a asumir que los nodos están etiquetados $\left( 1, 1, 1 \right)$$\left( 3, 3, 3\right)$. Vamos a empezar en $\left( 1, 1, 1 \right)$ y la suma de la distancia entre este nodo y todos los otros nodos. A continuación, pasamos a $\left( 1, 1, 2 \right)$ y la suma de las distancias entre este nodo y todos los otros nodos excepto para $\left( 1, 1, 1 \right)$ porque ya hemos contado la distancia entre el$\left( 1, 1, 1 \right)$$\left( 1, 1, 2 \right)$. A continuación, pasamos a $\left( 1, 1, 3 \right)$ y suma todas excepto para$\left( 1, 1, 1 \right)$$\left( 1, 1, 2 \right)$. Continuamos de esta manera hasta que nos permutar, a fin de $\left( 1, 1, 1 \right)$, $\left( 1, 1, 2 \right)$, $\left( 1, 1, 3 \right)$, $\left( 1, 2, 1 \right)$, $\left( 1, 2, 2 \right)$, ect... ¿eso tiene sentido?

Que me tendría que dar la distancia total sin contar nada dos veces. A continuación, divido por el número de maneras de elegir 2 nodos y voy a tener el promedio de la distancia. ¿Es esto correcto? Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Este enfoque es correcto, pero más trabajo que requiere. Utilizando el taxi métrica de cada dimensión es independiente. Tomando un cubo de lado n, puede contar los segmentos verticales utilizan de la siguiente manera: desde la parte inferior de la capa a la siguiente capa, contamos $n^2$ (puntos en la parte inferior de la capa) veces $n^2*(n-1)$ (puntos por encima de la capa inferior) = $n^4*(n-1)$. Para la siguiente capa tiene $2*n^2*n^2*(n-2)$ y así sucesivamente. El $n^4$s distribuir y sólo puede pensar en la distancia total a lo largo de una línea de longitud n. Esto es $\sum_{i=1}^{i=n}i*(n-i)$. Luego se multiplica por $n^4$ y tiene el uso total en la dirección vertical. Luego se multiplica por 3 para el uso total en cada dirección. Y dividir por el número de pares de puntos que has calculado ya. La extensión para diferente número de dimensiones o no cúbica mallas debe ser clara.