¿Por qué $|dz|=-ir\frac{dz}{z}$ al $|z|=r$?

Question

A veces quiero calcular una integral de línea sobre algunas círculo de $|z|=r$, donde he a $|dz|$ en lugar de $dz$ dado a mí.

Reparametrizing con $z=re^{it}$, se deduce que el $dz=rie^{it}dt=izdt$. Pero siempre he leído que $$|dz|=|iz|dt=|z|dt=|z|\frac{dz}{zi}$$ por lo $|dz|=-ir\frac{dz}{z}$. En la primera igualdad, ¿por qué no $|dz|=|iz|dt$ en lugar de $|iz||dt|$? ¿Por qué no el valor absoluto se extienden a las $dt$ así?

Answer 1

Si una integral de línea se expresa como $|dz|$, entonces debe ser entendida como parte integral de una función con respecto a una medida (en oposición a la integral de una $1$-forma). Tal integral no depende de la orientación. Por lo tanto, sería más correcto usar $|dt|$ en lugar de $dt$ en el cómputo que se cita. Los autores probablemente significaba para $t$ a aumentar, en cuyo caso $|dt|$ $dt$ son la misma cosa.