Longitud lateral de un cuadrilátero inscrito en un círculo

Question

Llevo 10 años haciendo matemáticas y, sin embargo, de vez en cuando me quedo perplejo ante una pregunta "básica" de bachillerato. Esta es una de esas veces.

Esta es la pregunta:

La parte a es fácil; aplicamos la regla del coseno al ángulo $92^\circ$ .

No entiendo cómo utilizar la regla del seno para encontrar $CD$ . Conseguí encontrarlo usando la regla del coseno; dibujar una línea entre $BD$ y usarla como la longitud "principal" en la regla del coseno. Las otras dos longitudes son $5cm$ y $CD$ . Terminas con una cuadrática que implica $CD$ que se puede resolver.

Pero no entiendo cómo usar la regla del seno para hacer esto. ¿Alguna idea?

Answer 1

¿Con senos? Tenemos que encontrar $\angle CBD$ . Para ello, podemos encontrar $\angle BDC$ por la ley de los senos comparando con $\angle DCB$ . Entonces $\angle BDC = 180^\circ-\angle BDC-\angle DCB$ . No es especialmente cómodo, pero al menos funciona.

Answer 2

Regla del seno:

$${a\over\sin\alpha}={b\over\sin\beta}={c\over\sin\gamma}=2r$$

Puede calcular $2r$ a partir de un cálculo previo $|BD|$ como

$$2r = {|BD|\over\sin{88^o}}$$

Ahora (ver la imagen, donde $O$ es el centro del círculo, y $\alpha, \beta, \text{ and } \gamma$ tienen sin relación con las mismas letras griegas utilizadas en la regla del seno anterior):

\begin{aligned} \color{green}{\beta} & \color{green}{\;= 2\alpha}\\ \color{red}{\gamma} & \color{red}{\;= 360^o-\beta} \end{aligned}

A partir del triángulo superior (tintado) podemos calcular el ángulo $\delta$ porque $\displaystyle {5\over\sin\delta} =2r$ y entonces en el triángulo inferior podemos calcular su ángulo como $\gamma-\delta$ .

Ahora aplicando la regla del seno para este triángulo inferior obtendremos

$${|CD| \over\sin (\gamma-\delta)} = 2r \implies \color{red}{|CD|=2r\sin(\gamma-\delta)}$$