(1) Para los tres $\sigma$-finito medidas de $\mu\ll\nu\ll\eta$ es $$ \frac{d\mu}{d\eta}=\frac{d\mu}{d\nu}\frac{d\nu}{d\eta}~~\eta-\text{a.s.} $$ (2) Para dos finito medidas de $\mu\sim\nu$$\mu$ -.s. (y, por tanto,$\nu$ -.s.) $$ 0<\frac{d\mu}{d\nu}\frac{d\nu}{d\mu}<\infty~~~~~~~~~\text{and}~~~~~~~~~~~\frac{d\mu}{d\nu}=\left(\frac{d\nu}{d\mu}\right)^{-1} $$
Hola!
He aquí lo que ya he probado.
(1) De $\mu\ll\nu\ll\eta$ es de la siguiente manera $\mu\ll\eta$ y a partir de esto Radon-Nikodým, que existe una densidad de $\frac{d\mu}{d\eta}$ $\mu$ relativas a $\eta$ $\eta-\text{ a.s.}$ único.
Por otra parte, hay una segunda densidad de $\mu$ relativas a $\eta$, al pasar por el uso de $\mu\ll\nu$ $\nu\ll\eta$ y de nuevo Radon-Nikodým: existe una densidad de $\frac{d\mu}{d\nu}$ $\nu-\text{ a.s.}$ único y por los que es $\mu=\frac{d\mu}{d\nu}\nu$. Asimismo, existe una densidad de $\frac{d\nu}{d\eta}$ $\eta-\text{ f.s.}$ único y por los que es $\nu=\frac{d\nu}{d\eta}\eta$. Poner esto juntos, es
$$ \mu=\frac{d\mu}{d\nu}\nu=\frac{d\mu}{d\nu}\frac{d\nu}{d\eta}\eta. $$
Así que otra densidad de $\mu$ relativas a $\eta$ se encuentra. Pero debido a que, como se dijo, por Radon-Nikodým la densitiy de $\mu$ relativas a $\eta$ (denominado por encima de $\frac{d\mu}{d\eta}$) $\eta-\text{ a.s.}$ único, de la siguiente manera
$$ \frac{d\mu}{d\eta}=\frac{d\mu}{d\nu}\frac{d\nu}{d\eta}~\eta-\text{ a.s.} $$
(2) De $\mu\sim\nu$ sigue por Radon-Nikodým:
$\mu=\frac{d\mu}{d\nu}\nu$, con lo cual $\frac{d\mu}{d\nu}$ $\nu-\text{ a.s.}$ único
$\nu=\frac{d\nu}{d\mu}\mu$, con lo cual $\frac{d\nu}{d\mu}$ $\mu-\text{ a.s.}$ único
$$ \implica \nu=\frac{d\nu}{d\mu}\mu=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\nu}\nu $$
Además, es $\nu\ll\nu$$\nu=f\nu$$f\equiv 1$. De la $\mu-\text{ a.s.}$-la singularidad de la densidad de $\nu$ relativas a $\nu$ es de la siguiente manera
$$ \frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\nu}=1~\nu\text{ a.s.} $$
Finalmente es $$ \frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\nu}=1~\nu\text{ a.s.}\Leftrightarrow \frac{d\mu}{d\nu}=\left(\frac{d\nu}{d\mu}\right)^{-1}~\nu\text{ a.s.}. $$
Queda por demostrar, que $$ 0<\frac{d\mu}{d\nu}\frac{d\nu}{d\mu}<\infty~\mu-\text{ a.s.}\texto{ resp. }\nu\text{ a.s} $$
Yo no era capaz de mostrar que todavía.
Sería genial conseguir un poco de ayuda.
Es mi prueba anterior bien?
Con saludos,
math12
