Evaluar $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)^2}{\log (1 + \sin^4x)} $

Question

Según Mathematica,

$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)^2}{\log (1 + \sin^4x)} = \frac{1}{4}$$

Para mis propósitos es suficiente saber que este límite existe y es finito, pero no puedo utilizar la regla de L'Hopital (ni nada que se base en la diferenciabilidad). Sin embargo, estoy atascado en cómo demostrar que este límite se mantiene. He intentado dar una prueba de épsilon-delta, pero parece innecesariamente complicada. Lo ideal sería poder demostrar que el límite existe utilizando sólo las reglas trigonométricas, el álgebra, y eventualmente reduciendo esto de ser una forma indeterminada para que pueda simplemente enchufar $0$ .

Sin embargo, el problema con esto es que no puedo romper el término de registro. Parece que tendría que factorizar su argumento, pero para hacerlo necesito manipular $1 + \sin^4 x$ para poder factorizarlo y separar los términos. Pero nada ha funcionado hasta ahora.

Answer 1

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)^2}{\log (1 + \sin^4x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(2\sin^2( x/2))^2)}{\log (1 + \sin^4x)}=1\cdot\lim_{x \rightarrow 0} \frac{4\sin^4(x/2))}{\sin^4x} $$ y esto se comporta como $$ \frac{4x^4}{2^4x^4}, $$ que de hecho tiende a $1/4$ .

Utilizamos $1-\cos x=(\sin^2(x/2)+\cos^2(x/2))-(\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2))$ y $\displaystyle\lim_{y\to0}\dfrac{\ln(1+y)}{y}=1$ .

Answer 2

SUGERENCIA:

$$\frac{(1-\cos x)^2}{\ln(1+\sin^4x)}$$

$$=\frac{(1-\cos x)^2\cdot(1+\cos x)^2}{(1+\cos x)^2\cdot\ln(1+\sin^4x)}$$

$$=\frac1{\dfrac{\ln(1+\sin^4x)}{\sin^4x}}\cdot\frac1{(1+\cos x)^2}$$

Ahora $$\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)}h=1$$

Answer 3

Siempre recuerdo que $1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$ y $\ln(1+x) \sim x$ como $x\to 0$ . Cuando necesito calcular un límite, siempre lo utilizo.