Homomorphism más de 3/4 de la inversa de la

Question

Supongamos $G$ es un grupo finito y $f$ es un automorphism de $G$. Si $f(x)=x^{-1}$ más de $\frac{3}{4}$ de los elementos de $G$, no se sigue que la $f(x)=x^{-1}$ todos los $x$ $G\ ?$

Sé que la respuesta es "sí", pero no sé cómo demostrarlo.

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Aquí es una solución agradable publicado por administrador, ampliado un poco:

Deje $S = \{ x \in G: f(x) = x^{-1}\}$.

Reclamo: Para $x$ en $S$, $S\cap x^{-1}S$ es un subconjunto de a $C(x)$, el centralizador de $x$.

Prueba: Para tales $y$, $f(y) = y^{-1}$ y $f(xy) = (xy)^{-1}$. Ahora $$x^{-1} y^{-1} = f(x)f(y) = f(xy) = (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}.$$ Por lo $x$ $y$ viaje.

Desde $S\cap x^{-1}S$, más de la mitad de $G$, por lo que es $C(x)$. Así que por Lagrange del Teorema, $C(x) = G$, e $x$ está en el centro de la $G$. Por lo tanto $S$ es un subconjunto del centro, y es más de la mitad de $G$. Por lo que el centro debe ser todos los de $G$ $G$ es conmutativa. Una vez $G$ es conmutativo el problema es fácil.

Answer 1

Creo que el punto de este conjunto de 3/4 de negocio es la siguiente. Si G_1 es el conjunto de elementos tales que f(x) = x^{-1}, entonces si miramos a la izquierda de la multiplicación en G por un elemento de G_1, más de la mitad de los elementos que tienen que hacer de nuevo en G_1.

La combinación de esto con lo que sabemos acerca de f que debe seguir cualquier g \en G_1 viajes con más de 1/2 de los elementos de G, por lo que si usted dice Langrange del thm suficientes veces se debe seguir que G es abelian y G_1 genera G, que en conjunto implica el resultado.

Answer 2

(Mi novia lo explicaron a mí.) Después de Anton de la observación, es suficiente para mostrar que f = id si f corrige más de la mitad de la G. Pero los elementos de la G fijado por una automorphism formar un grupo y este grupo tiene el índice de menos de 2 por supuesto, de ahí todos los de G.