¿Cómo puedo obtener el Laurent serie de $f(z)=\frac 1{\cos(z^4)-1}$$0$?

Question

Sé que $$\cos(z^4)-1=-\frac{z^8}{2!}+\frac{z^{16}}{4!}+...$$ pero, ¿cómo puedo tomar el recíproco de esta serie (por favor, no use poco-o notación)? O hay mejores métodos para obtener la serie?

Answer 1

La División larga ... todavía vale la pena aprender

Para obtener más términos en el cociente, el uso más términos en el divisor.

Answer 2

Por supuesto, la forma más fácil es preguntar a un CAS. Esto es de Arce:

$$ (-2) z^{(-8)} - \frac{1}{6} - \frac{1}{120} z^{8} - \frac{1}{3024} z^{16} - \frac{1}{86400} z^{24} - \frac{1}{2661120} z^{32} - \\ \quad{}\quad{}\frac{691}{59439744000} z^{40} - \frac{1}{2874009600} z^{48} - \frac{3617}{355687428096000} z^{56} - \\ \quad{}\quad{}\frac{43867}{150267476975616000} z^{64} - \frac{174611}{21127833228902400000} z^{72} - \\ \quad{}\quad{}\frac{77683}{335740477128376320000} z^{80} - \frac{236364091}{36822263841994427596800000} z^{88} \\ \quad{}\quad{} - \frac{657931}{3722690410399436636160000} z^{96} + \operatorname{O} \bigl(z^{104}\bigr) $$