Demostrar que, dado n monedas, si la probabilidad de obtener cara en un número par de veces es de 1/2, entonces hay al menos una feria de la moneda

Question

Así que el conjunto es como sigue: Tenemos n monedas se volcó de manera independiente, no necesariamente todos los justos. Yo sé que si hay al menos una moneda, la probabilidad de obtener un número par de cabezas después de flipping es de 1\2. Quiero mostrar a la inversa, que si la probabilidad es 1/2(de llegar a un número de cabezas), entonces existe al menos una moneda.

Answer 1

No tan Elegante un Enfoque Básico como yo Había Previsto. Se demuestra esto por inducción.

En primer lugar, para $n = 1$, de una sola moneda. Obviamente, entonces la probabilidad de que un número de cabezas es simplemente la probabilidad de que esta moneda gira colas. Si esta moneda es injusto, esta probabilidad está claro que no es igual a $1/2$. Por lo tanto, la moneda debe ser justo. Esto establece la base paso.

Ahora, supongamos que la proposición es verdadera para algunos $n > 0$. Vamos ahora a mostrar por $n+1$. El antecedente es que la probabilidad de que un número de cabezas en estos $n+1$ volteretas en el es $1/2$. Si (al menos) uno de los primeros a$n$ monedas es justo, entonces el consecuente es verdadero.

Si, por otro lado, ninguno de los primeros a$n$ monedas es justo, ya sabemos que tal circunstancia no permite que la probabilidad de un número de cabezas en el primer $n$ tiros a ser $1/2$. Digamos, pues, que esta probabilidad es en lugar de $P_n \not= 1/2$, y dejar que el $n+1$th moneda tiene una probabilidad de jefes de $q$. Entonces la probabilidad de que el número de cabezas es incluso después de todo lo $n+1$ tiros es

$$ P_{n+1} = P_n(1-q) + (1-P_n)q = P_n + q(1-2P_n) $$

Pero sabemos que, por hipótesis, que $P_{n+1} = 1/2$, por lo que podemos escribir

$$ \frac12 = P_n + q(1-2P_n) $$

lo que nos da, después de algunos simple álgebra,

$$ q = \frac{1/2-P_n}{1-2P_n} = \frac12 $$

Esto establece la inducción de paso y que la proposición se muestra.

Answer 2

Esta es realmente la misma que la respuesta por @BrianTung pero la presentación es un poco más corto. :)

Asumir un conjunto de $n$ monedas tiene esa propiedad. Partición de este conjunto en dos arbitrario no vacía de subconjuntos de a$X, Y$ y deje $p_X = ({1 \over 2} + x), p_Y = ({1\over 2} + y)$ ser las respectivas probabilidades de que cada conjunto tiene un número par de cabezas. Entonces:

$$ {1 \over 2} = p_X p_Y + (1 - p_X) (1 - p_Y) = ({1 \over 2} + x) ({1 \over 2} + y) + ({1 \over 2} - x) ({1 \over 2} - y) = {1 \over 2} + 2xy$$

después de expandir y darse cuenta de la cruz-términos cancelar. Por lo tanto, $x$ o $y$ (o ambos) deben ser $0$, es decir, uno (o ambos) de los subconjuntos debe tener esta propiedad. Como se repiten hacia abajo finalmente llegar a una sola moneda, que debe ser justo.