Sé que la definición de un clásico de la transformada de Fourier a la que se asigna una función f(x) en la línea real X a una función F(p) en un doble espacio (aquí otra línea real y el préstamo de algunos de física de la notación) P. Esto es generalizado forma directa a los multidimensional espacios lineales, donde simplemente podemos aplicar la transformación integral para cada dimensión. ¿Qué acerca de los espacios curvos? Superspaces? No conmutativo de espacios? Es importante que el espacio dual de P podría ser pensado como la cotangente del paquete en la X? Puede que esto nos ayuda a entender las nociones de dinámica en los espacios que no podemos clásicamente se entiende como un espacio (es decir, anti - y-no-conmutativa coordenadas)? Hay otros ejemplos de "Fourier" que son interesantes o útiles?
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Estoy apenas calificado para responder a esta pregunta, pero es posible encontrar las siguientes referencias útiles.
Vamos a empezar con los dos clásicos ejemplos de la transformada de Fourier: las transformadas de Fourier para $L^2$ funciones en la línea y el círculo.
La generalización de la noción de espacio
La línea y el círculo son tanto topológico abelian grupos, y la transformada de Fourier expresa de las funciones en el grupo en términos de caracteres. Este punto de vista se generaliza a...
- Localmente compacto abelian grupos.
- Compacto anabelian grupos, con la ayuda de Peter-Weyl teorema.
La línea y el círculo son tanto de Riemann colectores, y la transformada de Fourier expresa de las funciones en el colector en términos de funciones propias de la Laplace-Beltrami operador. Este punto de vista se generaliza a...
- Riemann colectores con la de Laplace-Beltrami operador, que conduce a la teoría espectral de los colectores. Esto funciona especialmente bien para compacto de Riemann colectores, y juega un papel importante en el estudio de superficies hiperbólicas.
- Los gráficos con el gráfico operador de Laplace, que conduce a la espectral de la teoría de grafos.
La generalización de la noción de función
Cuando el espacio es un grupo abelian con la estructura de un proyectiva variedad algebraica, de funciones, no pueden ser generalizados coherente de las poleas, que conduce a las transformadas de Fourier-Mukai transformar.
Cuando el espacio es un colector de Riemann, las funciones pueden ser generalizados a...
- Formas diferenciales, que conduce a la teoría de Hodge. (Aunque la teoría de Hodge sólo aborda el núcleo de la Laplaciano, mientras que el análisis de Fourier involucra con todos los subespacios propios.) También puede ser un gráfico espectral de la teoría de la versión de este.
- Secciones de un hermitian vector paquete, que conduce a la Bochner Laplaciano. (No sé si en realidad se puede hacer el análisis de Fourier en esta configuración.)
Una interesante generalización de Fourier de la siguiente manera original de análisis de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias en $\mathbb{R}$. Es más fácil de romper por primera vez en Odas en medio de la línea de $[0,\infty)$ de Sturm-Liouville problemas $$ Lf=-\frac{d^{2}f}{dx^{2}}+q(x)f(x) = g(x),\\ \cos\alpha f(0)+\sin\alpha f'(0) = 0. $$ donde $q$ es integrable en a $[0,r]$ cualquier $r > 0$, pero no necesariamente integrable en $[0,\infty)$. Puede ocurrir una segunda condición es necesaria en $\infty$, pero no voy a describir tales condiciones aquí. Para todos los $\lambda \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ hay un único eigenfunction $\phi_{\lambda}(x)$ tal que $$ L\phi_{\lambda}=\lambda \phi_{\lambda} \\ +\cos\alpha \phi_{\lambda}(0)+\sin\alpha\phi_{\lambda}'(0)=0 \\ -\sin\alpha \phi_{\lambda}(0)+\cos\alpha \phi_{\lambda}'(0)=1 \\ \phi_{\lambda}\mbox{ satisface las condiciones requeridas en $\infty$ si } \\ \phi_{\lambda} \en L^{2}[0,\infty). $$ Como $\lambda$ tiende a $u \in \mathbb{R}$, estas funciones se han pointwise en todas partes de los límites de $\phi_{u}$ que son funciones propias que no son, en general, en $L^{2}[0,\infty)$ pero son de cuadrado integrable en cualquier intervalo finito $[0,r]$ $r > 0$. $\phi_{u}$ es en $L^{2}[0,\infty)$ algunos $u$ fib $\phi_{u}$ es un eigenfunction con autovalor $u$.
Deje que el operador $L$ definido en el dominio $\mathcal{D}(L)$ consta de dos veces localmente absolutamente funciones continuas en $[0,\infty)$ la satisfacción de la condición obligatoria en $0$ así como cualquier condición en $\infty$ (si los hubiera.) Entonces existe una medida $\mu$ $\mathbb{R}$ concentrado en el espectro de $\sigma(L)$ del operador $L$ de manera tal que la generalización de la transformada de Fourier existe un límite en $L^{2}(\mathbb{R},\mu)$: $$ \hat{f}(u)=L^{2}_{\mu}(\mathbb{R},\mu)\mbox{-}\lim_{r\uparrow\infty}\int_{0}^{r}f(x)\phi_{u}(x)dx $$ La inversa generalizada de Fourier invierte esta operación: $$ f(x) = L^{2}[0,\infty)\mbox{-}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{-R}^{R} \hat{f}(u)\phi_{u}(x)d\mu(u). $$ Además, la igualdad de Parseval $\|f\|_{L^{2}}=\|\hat{f}\|_{L^{2}_{\mu}}$, es decir $$ \int_{-\infty}^{\infty}|\sombrero{f}(u)|^{2}d\mu(u)=\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2}dx. $$ De hecho, $f\mapsto \hat{f}$ es surjective, lo que hace que la generalización de la transformada de Fourier unitaria. Además, la transformada de Fourier se convierte en el operador $L$ a la multiplicación por $u$. Es decir, $f \in \mathcal{D}(L)$ fib $u\hat{f}(u) \in L^{2}(\mathbb{R},\mu)$, y, en su caso, $$ \widehat{Lf}(u) = u\hat{f}(u). $$ El ordinario de Fourier seno y coseno se transforma en $[0,\infty)$ son casos especiales de este general transformar par.
La medida de $\mu$ general pueden tener componentes discretos y continuos de los componentes; por lo que este general transformar parece un discreto + continuo de la transformada de Fourier. El Hankel transformar es un caso especial, así como otros clásicos transforma de Matemáticas de la Física.
Este general desarrollar representa el descarne de Fourier del plan, y que no se concretará hasta más de un siglo después de la transformada de Fourier de la obra original. Este es Sturm-Liouville Teoría, que se ocupa de las Odas que surja de Fourier de separación de variables para ecuaciones clásicas. En este contexto, los grupos no son necesarias y las ecuaciones pueden ser aún más general todavía. Las expansiones de ver como continua eigenfunction expansiones, es decir, en lugar de $$ f=\sum_{\lambda_{n}}(f,\phi_{\lambda_{n}})\phi_{\lambda_{n}}\mu_{n} $$ donde $\mu_{n}$ son la normalización de las constantes, se tiene una integral $$ f = \int_{-\infty}^{\infty}"(f,\phi_{u})"\phi_{u}(x)d\mu(u),\\ "(f,\phi_{u})" = L^{2}_{\mu}\mbox{-}\lim_{r\rightarrow\infty}\int_{0}^{r}f(x)\phi_{u}(x)dx. $$ No puede ser discretas y/o continuas componentes para $\mu$. (Yo uso las comillas porque $\phi_{u} \notin L^{2}$, lo que significa que $(f,\phi_{u})$ no es propiamente un producto interior para todos los $u$, aunque lo parezca, así como de las de Fourier senoidal transformar $(f,\sin(ux))=\int_{0}^{\infty}f(x)\sin(ux)dx$.) La transformada de Fourier $\hat{f}(u)=(f,\phi_{u})$ es una densidad espectral de $f$ cuyas magnitudes son interpretados como los coeficientes de las funciones propias $\phi_{u}$ necesario para reconstruir $f$.
Este es el original de la generalización de la transformada de Fourier de la teoría, y es lo suficientemente profundo y bastante difícil de probar que su riguroso desarrollo sigue siendo difícil encontrar en los modernos textos.
