Binomio/distribución de Poisson pregunta

Question

Alguien me pidió ayuda con la tarea, pero estoy confundido acerca de la pregunta, así que, básicamente, es realmente fácil:

Lotes de 100 componentes tienen un número promedio de 5 defectos por lote. ¿Cuál es la probabilidad de al menos 9 componentes defectuosos en un lote? Calcular mediante

(i) la distribución Binomial (ii) distribución de Poisson (iii) aproximación Normal a la binomial (iv) la aproximación de Poisson a la binomial (v) discutir Brevemente cómo de buena es la de aproximaciones a la distribución binomial, en referencia a (ii), (iii), (iv)

(i), (iii), (iv) son de fácil y así es (v) una vez me dieron el número.

No entiendo lo que significa por calcular utilizando la distribución de Poisson? Evidentemente, no se trata de Poisson distribuido por la forma en que se describe....

Si veo lotes de 100 como una especie de 'tiempo' de llegada (como en una Poisson de la llegada), luego en la parte (ii) da Poisson(5), que es el mismo que en la parte (iv) de todos modos, así que no me siga...

Answer 1

(1) Vamos a $X \sim \mathrm{Binomial}(n = 100, p = 0.05)$. A continuación, $$\Pr[X \ge 9] = 1 - \sum_{x=0}^8 \binom{n}{x}p^x (1-p)^{n-x}.$$

(2) Vamos a $\lambda = 5$ la tasa de parámetro para el número de defectos por lote; a continuación, $N \sim \mathrm{Poisson}(\lambda = 5)$ modelos el número de defectos por lote, y queremos calcular el $$\Pr[N \ge 9] = 1 - \sum_{k=0}^8 e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}.$$

(3) Por $np = 5$, la aproximación normal a la binomial no es especialmente buena, pero la vamos a usar de todos modos: luego Tenemos la $X \dot\sim \mathrm{Normal}(\mu = np = 5, \sigma^2 = np(1-p) = 4.75)$, y la probabilidad con la continuidad de la corrección es $$\Pr[X \ge 9] \approx \Pr\left[Z \ge \frac{8.5 - 5}{\sqrt{4.75}}\right],$$ where $Z$ es normal estándar.

(4) no estoy seguro de cómo esto es sustancialmente diferente al de (2). Para mí, la distribución exacta de los defectos por lote de 100 es binomial, de Poisson no, por lo que sólo se puede aproximar con una distribución de Poisson. Por lo tanto no veo la manera de (2) y (4) deben ser diferentes, ambas son necesariamente aproximaciones a la binomial.