Este es otro ejercicio de Allan del libro "Introducción a los Espacios de Banach y Álgebras".
Ejercicio 2.9: Un espacio de Banach $E$ se dice que homeomórficos a su plaza si $E\oplus E$ es linealmente homeomórficos a $E$. Demostrar que los espacios de $c$ $C([0,1])$ tienen esta propiedad.
Tenga en cuenta que no hemos desarrollado con mucha teoría, sin embargo, en este libro!) Bien, $c_0 \oplus c_0 \cong c_0$ (dividir una secuencia en las piezas apoyadas sobre los acontecimientos y las probabilidades de decir) y $c\cong c_0$, por lo que en el caso de $c$. No puedo ver a una primaria de la prueba de $C([0,1])$. Aquí está una menor de fácil prueba: $C([0,1]) \oplus_\infty C([0,1]) = C([0,1] \cup [2,3])$ decir. Luego de la apelación a Miljutin del Teorema, como $[0,1] \cup [2,3]$ es un incontable espacio métrico compacto, $C([0,1] \cup [2,3]) \cong C([0,1])$.
Seguramente no necesito el poder completo de la Miljutin del Teorema. Pero, por ejemplo, $C([0,1] \cup [2,3])$ no puede ser isométrica a $C([0,1])$ (si usamos real escalares) por el de Banach-Stone teorema, como $[0,1] \cup [2,3]$ no es homeomórficos a $[0,1]$.
Seguramente el uso de Miljutin del Teorema no es lo que el libro propone.
Hay una escuela primaria prueba de que $C([0,1]) \oplus C([0,1]) \cong C([0,1])$?
