Es un polinomio $f$ cero en $(a_1,\ldots,a_n)$ si $f$ se encuentra en el ideal $(X_1-a_1,\ldots,X_n-a_n)$ ?

Question

Esta es probablemente una pregunta muy tonta:

Si $R$ es un anillo conmutativo arbitrario con unidad y $f\in R[X]$ un polinomio, entonces para cualquier elemento $a\in R$ tenemos $$f(a)=0 \Longleftrightarrow X-a ~\mbox{ divides }~ f \Longleftrightarrow f\in (X-a)$$ donde la última equivalencia es clara. La primera es probablemente un poco sorprendente ya que $R[X]$ no suele ser euclidiano y quizá no esté claro cómo dividir por $X-a$ .

Ahora dejemos que $f\in R[X_1,\ldots, X_n]$ sea un polinomio. ¿Cómo puedo ver para un elemento $(a_1,\ldots,a_n)\in R^n$ que $$f(a_1,\ldots,a_n)=0 \Longleftrightarrow f\in (X_1-a_1,\ldots,X_n-a_n) ?$$ Si esto no funciona en general, que $R=K$ sea un campo.

Answer 1

Considere el caso de $(a_1,\ldots,a_n)=(0,\ldots,0)$ primero, donde es obvio. Luego observa que $$f(a_1,\ldots,a_n)=0\iff g(0,\ldots,0)=0$$ y $$f\in (x_1-a_1,\ldots,x_n-a_n)\iff g\in (x_1,\ldots,x_n)$$ donde $$g(x_1,\ldots,x_n)=f(x_1+a_1,\ldots,x_n+a_n)$$

Answer 2

Sí. Otra forma de ver esto es la siguiente:

Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $X_n$ aparece en $f$ . Entonces $$f=\varphi_0+\varphi_1X_n+\cdots + \varphi_kX_n^k$$ para algunos $\varphi\in R[X_1,...,X_{n-1}]$ con $\varphi_j(a_1,..,a_{n-1})\neq 0$ para algunos $j\leq k$ . Esto se reduce al caso de que usted esté de acuerdo.