He leído en algunos artículos que los números de Stirling (de la segunda clase) tienen una natural $q$-analógico $S_q(n,k)$, lo que satisface la recurrencia $$ S_q(n,k)=(k)_qS_q(n-1,k)+q^{k-1}S_q(n-1,k-1) $$ con las condiciones que $S_q(0,k)=\delta_{0,k}$$S_q(n,0)=\delta_{n,0}$.
Cómo es esta recurrencia llegó a? Incluso si esta recurrencia se toma como definición, debe haber alguna motivación. Gracias.
Si usted puede leer en alemán encontró una respuesta en mis notas de la conferencia en la Universidad de Viena, Elementare q-Identitäten, Capítulo 3.
Su $S_q(n,k)$ es el mismo que el de mi $q^{\binom{k}{2}} S[n,k]$
La siguiente justificación se basa en material de Johann Cigler de notas de la conferencia, los Capítulos 1 y 3.
La ordinaria de los números de Stirling del segundo tipo se caracteriza por la identidad $$(xD)^n=\sum_k\left\{\matrix{n\\k}\right\}x^kD^k\;,\tag{1}$$ where $D$ is the ordinary differentiation operator. Thus, one approach to defining a $p$-analogue $S_q(n,k)$ is to require that it satisfy the analogue of $(1)$ with $D$ replaced by $D_q$, defined by $$D_qf(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{qx-x}$$ and satisfying $$D_qx^n=\frac{(qx)^n-x^n}{(q-1)x}=\frac{q^n-1}{q-1}x^{n-1}=(n)_qx^{n-1}$$ and $$D_qx=qxD_q\;.$$
En otras palabras, uno podría razonablemente definir $S_q(n,k)$ a satisfacer
$$(xD_q)^n=\sum_{k=0}^nS_q(n,k)x^kD_q^k\;.\tag{2}$$
Suponga que $(2)$ mantiene para algunos $n$; a continuación,
$$\begin{align*} xD_q(xD_q)^n&=\sum_kS_q(n,k)xD_qx^kD_q^k\\ &=\sum_kS_q(n,k)x\Big(q^kx^kD_q+(k)_qx^{k-1}\Big)D_q^k\\ &=\sum_kS_q(n,k)q^kx^{k+1}D_q^{k+1}+\sum_k(k)_qS_q(n,k)x^kD_q^k\\ &=\sum_k\left(S_q(n,k-1)q^{k-1}+(k)_qS_q(n,k)\right)x^kD_q^k\;, \end{align*}$$
así que si queremos $(2)$ a $n+1$, se debe establecer
$$S_q(n+1,k)=S_q(n,k-1)q^{k-1}+(k)_qS_q(n,k)\;.\tag{3}$$
$(2)$ claramente requiere que $S_q(n,0)=\delta_{n,0}$; no impone ninguna restricción en $S_q(0,k)$$k>0$, pero la configuración de a $0$ es lo más natural y es compatible con $(3)$.
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