hace $a^2-51b^2=\mp 6$ ¿tiene solución para los números enteros?

Question

Hace $a^2-51b^2=\mp 6$ ¿tiene solución para los números enteros?

Lo he intentado por muchos modulos, pero no he podido sacar mucho provecho de ellos.

Answer 1

Una solución para $a^2 - 51 b^2 = \pm 6$ sería en particular una solución a la congruencia

$$a^2 \equiv \pm 6 \pmod{17}.$$

Pero tampoco $6$ ni $11$ es un residuo cuadrático módulo $17$ - los residuos cuadráticos son $1,2,4,8,9,13,15,16$ Así que no hay solución.

Answer 2

$\rm mod\ 17\!:\ a^2\!\equiv \pm 6\Rightarrow a^4\!\equiv 6^2\!\equiv 2\Rightarrow a^8\!\equiv 4\Rightarrow a^{16}\!\equiv -1\,$ contra el pequeño Fermat. $\ $ QED