Estadísticas de orden de la Expectativa y de la Varianza

Question

¿Cómo ir sobre la búsqueda de la expectativa y de la varianza de la r$^{\text{th}}$ fin de estadística $X_{(r)}$ a partir de una muestra aleatoria $X_1, \ldots, X_n$ a partir de una distribución uniforme con función de densidad

$$f(x)=1 \quad \quad \text{for} \ x \in (0,1)$$

y $f(x)=0$ lo contrario?

Intuitivamente, se puede ver la expectativa es $\frac{r}{n+1}$ a pesar de que estoy ansioso por ver lo que se deriva de saber simplemente el pdf de la distribución.

Answer 1

Supongamos que usted sabe que $$ un\Gamma(a) = \Gamma(a+1) \etiqueta{1} $$ y que $$ \int_0^1 x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}\,dx = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}. \etiqueta{2} $$ De $(2)$, podemos obtener la función de densidad de probabilidad de la distribución Beta con parámetros de $\alpha$$\beta$: $$ \int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\,dx=1. $$ Ahora queremos que el primer y segundo momentos de $\mathbb{E}(X)$ $\mathbb{E}(X^2)$ de una variable aleatoria $X$ con esta densidad. $$ \begin{align} \mathbb{E}(X) & = \int_0^1 x f(x)\, dx = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \int_0^1 x \cdot x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1} \, dx \\ \\ & = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \int_0^1 x^{(\alpha+1)-1} (1-x)^{\beta-1} \, dx. \tag{3} \end{align} $$ La integral de la identidad en $(2)$ mantiene si $\alpha$ es cualquier número; por lo tanto no tiene por $\alpha+1$: $$ \int_0^1 x^{(\alpha+1)-1} (1-x)^{\beta-1} \, dx = \frac{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta)}{\Gamma((\alpha+1)+\beta)}. $$ De ello se sigue que el producto en $(3)$ es $$ \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \cdot \frac{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta)}{\Gamma((\alpha+1)+\beta)} $$

Por lo $\Gamma(\beta)$ cancela, y $(1)$ puede ser aplicado a cambio de $\displaystyle\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha)}$$\alpha$, y a cambio de $\displaystyle\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma((\alpha+1)+\beta)}$$\displaystyle\frac{1}{\alpha+\beta}$. Por lo tanto, la expresión en $(3)$ se simplifica a $$ \frac{\alpha}{\alpha+\beta}. $$ Una técnica similar que sólo difieren en los detalles se encuentra $\mathbb{E}(X^2)$.

Una vez que usted ha $\mathbb{E}(X)$$\mathbb{E}(X^2)$, puede utilizar $\operatorname{var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - (\mathbb{E}(X))^2$. Hay algunos algebraicas simplificación de hacer después de eso. Recuerde que la varianza debe ser simétrica en el $\alpha$$\beta$, así que si lo que se recibe no es simétrica, hay un error.

Answer 2

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Order_statistic . La distribución Beta con parámetros $r$ $n+1-r$ es decir $\frac{r}{n+1}$ y la varianza de ${\frac {r\, \a la izquierda( n+1-r \right) }{ \left( n+1 \right) ^{2} \left( n+2 \right) }}$. Obtain these from the fact that $\int_0^1 t^a (1-t)^b\ dt = B(a+1,b+1) = \frac{a!b!}{(a+b+1)!}$.