Ejemplo concreto de campo vectorial a lo largo de un mapa

Question

En este libro la definición de un campo vectorial a lo largo de un mapa $f: M \to N$ se da de la siguiente manera:

Actualmente estoy tratando de entender esta definición. Para ello quería elaborar un ejemplo concreto. Pero necesito ayuda. Aquí está el ejemplo:

Dejemos que $f: \mathbb R^2 \to \mathbb R^3$ se define por $f(t,s) = (t^2 + 2s, t^3 + 3ts, t^4 + 4t^2 s)$ .

Para encontrar un campo vectorial a lo largo de él, primero calculé las derivadas $f_t$ y $f_s$ y luego se dio cuenta de que

$$ f_t = t f_s + s (0,3,8t)$$

Entonces dejé que $v_1 (t,s) := f_s$ y $v_2(t,s) := (0,3,8t)$ .

Y luego quería comprobar si $\pi_{T\mathbb R^2} \circ v_i = f$ pero aquí es donde estoy atascado en este momento.

Creo que $\pi_{T\mathbb R^2} \circ v_1 = v_1 (t,s)$ y $\pi_{T\mathbb R^2} \circ v_2 = v_2( t,s)$ . Pero por cómo definimos estos vectores tendríamos entonces

$$ \pi_{T\mathbb R^2} \circ v_1 = v_1 (t,s) = f_s$$

cuando queremos tener

$$ \pi_{T\mathbb R^2} \circ v_1 = f$$

Es $v_1$ realmente no es un campo vectorial a lo largo de $f$ o me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Puede ser difícil ver mucho de un ejemplo del tipo que está considerando. Ten en cuenta que un campo vectorial simplemente asocia a cada punto $x\in M$ un vector tangente $\nu(x)\in T_xM$ de una manera que depende suavemente de $x$ . Asimismo, teniendo en cuenta $f:N\to M$ un campo vectorial a lo largo de $f$ sólo asigna a cada $x\in N$ un vector tangente en el punto $f(x)\in M$ es decir $\nu(x)\in T_{f(x)}M$ . Ahora bien, si elige $M=\mathbb R^3$ entonces $TM$ es naturalmente isomorfo a $M\times\mathbb R^3$ . Por lo tanto, dado $f:N\to\mathbb R^3$ (para cualquier $N$ ), un campo vectorial a lo largo de $f$ puede describirse de forma equivalente mediante una función suave $g:N\to\mathbb R^3$ simplemente viendo $g(x)$ como vector tangente en el punto $f(x)$ . Esto se corresponde con el comentario anterior, que dice que en realidad hay que escribir $(f,g):N\to\mathbb R^3\times\mathbb R^3\cong T\mathbb R^3$ para aclarar la situación. Aun así, no creo que se pueda sacar mucho interés de un ejemplo así.

Hay varios ejemplos conceptuales de campos vectoriales a lo largo de funciones suaves. El más sencillo es la derivada $c'$ de una curva suave $c:I\to M$ en un colector, visto como una función suave $c':I\to TM$ . Un ejemplo relacionado es tomar la incrustación $i:S^2\hookrightarrow\mathbb R^3$ de la esfera unitaria (y análogamente de cualquier otra superficie). Entonces, asociando a $x\in S^2$ la normal de la unidad que apunta hacia el exterior en $i(x)$ define un campo vectorial a lo largo de $i$ . (Para $S^2$ Esto es sólo $(i,i)$ como un mapa $S^2\times S^2\to\mathbb R^3\times\mathbb R^3\cong T\mathbb R^3$ pero aquí tiene contenido geométrico. En general, recupera el mapa de Gauss como segunda componente). Por último, el ejemplo "genérico" de un campo vectorial a lo largo de una función arbitraria $f:N\to M$ es tomar un campo vectorial $\nu\in\mathfrak X(N)$ y mirando a $f_*\nu$ definido por $f_*\nu(x):=T_xf(\nu(x))$ .

Answer 2

También podría convertir mi comentario en una respuesta. Cometes algunos pequeños errores, y el ejemplo que has elegido es extraño: hay ejemplos más sencillos.

(1) Realmente deberías escribir $v_1(s,t):=(f,f_s)$ para enfatizar que $v_1$ toma valores en $TM$ que tiene el doble de la dimensión de $M$ . (En otras palabras, los puntos de $TM$ tienen la forma $(p,v)$ para $p\in M$ y $v\in T_pM$ .) Verás entonces que la condición de proyección funciona. Un campo vectorial a lo largo de una función une los vectores tangentes a lo largo de los puntos base en $M$ parametrizado por la imagen de $f$ .

Puedes mirar la sección que comienza al final de la página 55 del libro de Lee para recordar la definición del haz tangente y por qué lo coordinamos como $(p,v)$ .

(2) $M$ es $\mathbb{R}^3$ en su ejemplo, por lo que se preocupa por el mapa de proyección $\pi$ en $T\mathbb{R}^3$ no $T\mathbb{R}^2$ como usted escribió.

(3) No es necesario diferenciar $f$ con respecto a $s$ o a $t$ para construir un campo vectorial a lo largo del mapa $f$ . Para otros ejemplos triviales, considere

$$v(s,t):=(f,(t,0,0))$$ o, aún más trivial, $$w(s,t):=(f,(0,0,0))$$

Tal vez la razón por la que tomó las derivadas parciales de $f$ es que se refiere a pensar en $f$ como una función no en $\mathbb{R}^3$ sino en una superficie $S$ , es decir, un parche de la imagen de su función $f$ .

En ese caso hacer debe tener cuidado de que el vector que adjunta a $f(p)$ se encuentra en $T_{f(p)}S$ ; puede adjuntar cualquier cosa en el lapso de $f_t$ y $f_s$ . Pero si eso es lo que quieres hacer, primero debes restringir el dominio de $f$ para que su función sea inyectiva y para que los vectores tangentes $f_s$ y $f_t$ son linealmente independientes.