Estoy tratando de escribir una prueba contrapositiva. Lo que tengo parece algo legítimo, pero utiliza la prueba por contradicción dentro de una prueba contrapositiva. Dado que este problema se presenta antes de el capítulo sobre la prueba por contradicción (en el texto que estoy estudiando por mi cuenta), sospecho que hay una forma más limpia que me estoy perdiendo.
Demostrar que si $n \in \mathbb{Z}$ entonces $4 \nmid (n^2-3)$
Prueba : Supongamos que $4$ divide $(n^2-3)$ . Entonces, $4a=n^2-3$ para algunos $a\in\mathbb{Z}$ . Vemos que $n^2-3=4a=2\cdot 2a$ es un número entero par, por lo que $n^2$ es un número entero impar.
Si además suponemos que $\sqrt{n^2}\in\mathbb{Z}$ entonces $\sqrt{n^2}=n$ debe ser impar, ya que impar por impar es igual a impar, mientras que par por par es igual a par. Por lo tanto, $n=2k + 1$ para algunos $k\in\mathbb{Z}$ . Podemos entonces reescribir la ecuación original: $$(2k+1)^2-3=4a \\ 4k^2 + 4k - 2 = 4a \\ 4k^2 + 4k - 4a = 2 \\ k^2 + k - a = 2/4 = 1/2 \notin \mathbb{Z}$$ Desde $a,k \in \mathbb{Z}$ (y por lo tanto $k^2\in\mathbb{Z}$ ), esto es una contradicción. Me parece que falsifica la segunda suposición, que $\sqrt{n^2}\in\mathbb{Z}$ . Sin embargo, me pregunto si hay una forma más limpia que no dependa en absoluto de esa segunda suposición.
¡Do! Veo que debería haber dejado lo de la contrapositiva y haber hecho una prueba directa por casos. Gracias por aclararme :) Allá vamos...
Caso: $n$ es un número entero par. Por lo tanto, $n^2$ es par y $n^2-3$ es impar, así que $4$ no puede dividir $n^2-3$ .
Caso: $n$ es un número entero impar. Entonces, $n=2k+1$ para algún número entero $k$ y $n^2-3=4k^2+4k-2$ . Desde $4$ divide los dos primeros términos pero no el tercero, $4$ no puede dividir la suma. Por lo tanto, $4\nmid (n^2-3)$ .
Gracias por aclararlo.
