La existencia de la raíz cuadrada de $\mathbb{C}$

Question

Estoy atascado en la siguiente Proposición:

La proposición: Mostrar que para cada $z \in \mathbb{C} \setminus (- \infty, 0]$, existe exactamente una $w \in \mathbb{C}$ tal que $w^2=z$ e Re$(w)>0$

Hay muchas cosas que de rompecabezas de mí con esta proposición:

• La mayoría de todo esto que esta proposición se trata en el Análisis Real, sí análisis real. Yo no he tenido complejo de Análisis, pero estoy consciente de que muchas de las proposiciones de análisis real no son sólo para ser tomado más en el análisis complejo. Algunos de ellos, sin embargo, puede ser ampliado tal que éstos sigan siendo veraces en $\mathbb{C}$.
• En $\mathbb{R}$ J. Appell muestra en su libro (Análisis Real 1) más general de la forma de la anterior Proposición utilizando la integridad de la $\mathbb{R}$ y por lo tanto intervalos anidados, es una larga pero muy sencilla y constructivo de la prueba. De otro libro (Königsberger Análisis) soy consciente de que $\mathbb{C}$ también está completo, pero no sé cómo que me ayuda con la construcción.
• Además me resulta difícil de captar intuitivamente el conjunto $Z= \mathbb{C} \setminus (-\infty,0]$, sin embargo, que yo sepa, $(-\infty,0] \subset \mathbb{R}$ que podemos denotar por $\mathbb{R_{-}}$, por lo que nos resta de los números complejos todos los negativos de los números reales, incluyendo el cero. Este es, por supuesto, un conjunto, pero no veo cómo se supone que me ayude con la proposición.

Prueba: Existencia: Lamentablemente no tengo absolutamente ninguna idea aquí, hay una manera de expandir el caso real en el conjunto de la $Z= \mathbb{C} \setminus (- \infty, 0]$ ?

Unicidad: Supongamos $h \in \mathbb{C}$ ser otro número tal que $h^2=z$ Re$(h)>0$ y supongamos que,$w \neq h \implies w-h \neq 0$. Así obtenemos: $$w^2=h^2=z \implies w^2-h^2=\underbrace{(w-h)}_{\neq 0}(w+h)=0 \\ \implies w+h=0 $$ Pero $w$ $h$ positivos valores reales, con lo que conseguimos $w+h \neq 0$, por tanto, la contradicción y la $w=h$

Answer 1

El algebraicas (cuadrática, polinomial, incluso) de la forma:

Algunos de los números reales $a$ $b$ se dan, con condiciones, de tal manera que $z=a+ib$ y uno busca soluciones a $(x,y)$ de $$w=x+iy,\qquad w^2=z,\qquad x\gt0,$$ that is, $$x^2-y^2=a,\qquad 2xy=b,\qquad x\gt0.$$ En particular, $x\gt0$ por lo tanto $$x=\sqrt{y^2+a},$$ and $y$ has the sign of $b$ with $$b^2=4x^2y^2=4(y^2+a)y^2=(2y^2+a)^2-a^2,$$ that is, $$y^2=\frac{-a+\sqrt{b^2+a^2}}2.$$ Finalmente, la única solución de $(x,y)$ es $$x=\sqrt{\frac{a+\sqrt{b^2+a^2}}2},\qquad y=\mathrm{sgn}(b)\,\sqrt{\frac{-a+\sqrt{b^2+a^2}}2}.$$ The only case where this could yield $x=0$ is if $\lt0$ and $b=0$, fortunately this case was excluded from the start since it corresponds to $w$ on the halfline $\mathbb R_-$ in $\mathbb C$. Note also that $s$ involves the sign $\mathrm{sgn}(b)$, which is undefined if $b=0$ but this is no problem either since if $b=0$ then $\gt0$ hence the square root yielding $y$ is $0$, thus one does not need to specify what would be $\mathrm{sgn}(b)$ en este caso.

Answer 2

OK. Voy a suponer el siguiente teorema de análisis real: para cualquier $r \ge 0$, hay un único $s \ge 0$$s^2 = r$. En otras palabras, las raíces cuadradas de los números positivos que existen.

Deje $z = a + bi$; deje $r = \sqrt{a^2+b^2}$$\theta = atan2(b, a)$. Entonces $$ a = r \cos \theta\\ b = r \sin \theta $$

Deje $s = \sqrt{r}$ y la construcción de $$ w = s \cos (\theta/2) + s \sin(\theta/2) i $$

Luego (como se puede comprobar mediante la multiplicación y una aplicación de algunas de doble ángulo de fórmulas), tenemos $w^2 = z$. Es posible que $Re(w) < 0$, sin embargo; si es así, reemplace $w$$-w$. En la plaza también se $z$.

Así que ahora que hemos cubierto la existencia.

La singularidad? La prueba se ve bien para mí.

Por cierto, yo también estoy asumiendo la definición de atan2, que es "atan2(s, c)" es el ángulo cuyo seno y coseno son directamente proporcionales a$s$$c$, y para el cual el ángulo entre el$-\pi$$\pi$; sólo está definido para $s \ne0$ o $s = 0, c > 0$. Mi definición favorita es esta: $$ atan2(s, c) = \begin{cases} \arctan(s/c) & \text{if %#%#%} \\ \pi + \arctan(s/c) & \text{if %#%#%} \\ -\pi + \arctan(s/c) & \text{if %#%#%} \end{casos} $$

Desde $c > 0$ puede ser definido por una convergente de alimentación de la serie que, presumiblemente, ya sabes, esto no se refiere a nada que usted no sabe.

Answer 3

Para todos los $z \in \mathbb{C} \ (- \infty , 0]$ escritura $z = \rho e^{i \theta}$ única, donde$\rho = |z| >0$$\theta \in (- \pi, \pi)$.

Entonces la raíz cuadrada de $z$$w =\sqrt{\rho} e^{i\frac{\theta}{2}}$. Tenga en cuenta que $\frac{\theta}{2} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, por lo tanto $\Re w >0$.

Answer 4

La forma más sencilla y más rápida manera de ver es la siguiente:

Lema. La función de $s(z)=z^2$ es uno-a-uno y en entre $$ U=\{z:\mathrm{Re}\,z>0\}\quad \mathit{y}\quad V=\mathbb C\smallsetminus(-\infty,0]. $$ Por lo tanto, para cada $w\in\mathbb C\smallsetminus(-\infty,0]$, no hay una única $z$,$\mathrm{Re}\,z>0$, de tal manera que $z^2=w$.

La prueba del Lema.

una. $s$ es uno-a-uno. Si $s(z_1)=s(z_2)$, $z_1^2=z_2^2$ o $(z_1/z_2)^2=1$, lo que significa que cualquiera de las $z_1=z_2$ o $z_1=-z_2$. Pero en el último caso sólo de la $z_1,z_2$ tendría una parte real positiva. Contradicción.

b. $s$ es sobre. Deje $w\in\mathbb C\smallsetminus(-\infty,0]$. A continuación, $w$ en coordenadas polares puede ser expresado como $$ w=r\,\mathrm{e}^{i\vartheta}, $$ para algunos $r>0$, e $\vartheta\in(-\pi,\pi)$. En tal caso, $w=z^2$, donde $$ z=r^{1/2}\,\mathrm{e}^{i\vartheta/2}, $$ y como $\vartheta\in(-\pi/2,\pi/2)$,$\mathrm{Re}\,z>0$.