Es la Peluda Bola Teorema equivalente a decir que el Hopf Fibration no tiene ningún global de las secciones?

Question

La Peluda Bola Teorema establece que $S^2$ no tiene nonvanishing vector tangente campos. Pero si tenemos un campo entonces se podría normalizar cada uno de los vectores para que se encontraba en el círculo unitario del plano tangente en ese punto. Estos círculos de unidad forman un grupo de más de $S^2$ fibra $S^1$. La Peluda Bola Teorema es por lo tanto equivalente a decir que este paquete no tiene sección global.

Dado que este es un trivial $S^2$-bundle con fibra de $S^1$ pensé que podría ser el de Hopf Fibration. Es? Si no, ¿cuál es el espacio total?

Answer 1

El espacio total es de $SO(3) \cong \mathbb{RP}^3$. Usted puede ver esto debido a que $SO(3)$ actúa libremente y transitivamente en él, por primera rotación de los puntos en $S^2$ y, a continuación, por la rotación de los vectores tangente en un punto dado.

Es un ejercicio interesante de similar identificar el total de los espacios de la unidad de la tangente haces de la otra cerrada superficies (fijación de, digamos, una métrica de curvatura constante).