Solucionar $u_{xx}-3u_{xt}-4u_{tt}=0$ donde $u(x,0)=x^2$ $u_t(x,0)=e^x$

Question

Resolver $$u_{xx}-3u_{xt}-4u_{tt}=0$$ donde$u(x,0)=x^2$$u_t(x,0)=e^x$.

Mis trabajos hasta ahora: he factoriza la ecuación diferencial de la siguiente manera: $$(\delta_x-4\delta_t)(\delta_x+\delta_t)=0$$ donde $\delta_x=\frac{\delta}{\delta x}$ etc. Ahora, si nos vamos a $v$ ser la solución a$(\delta_x+\delta_t)u$, luego tenemos las dos ecuaciones siguientes: \begin{eqnarray*} (\delta_x+\delta_t)u=u_x+u_t=v\\ (\delta_x-4\delta_t)v=v_x-4v_t=0 \end{eqnarray*} Ahora para $v$ simplemente encontramos $$v=h(t+4x)$$ donde $h$ es una función arbitraria de una variable. Ahora lo que queda es encontrar $u$ tal que $$u_x+u_t=h(t+4x)$$ Estoy atrapado aquí, pensé en hacer un cambio de variables $\zeta=x+t$ $\eta=x-t$ y por lo tanto el uso de la regla del producto para mostrar que $u_x=u_{\zeta}+u_{\eta}$ $u_t=u_{\zeta}-u_{\eta}$ e lo $u_x+u_t=2u_{\zeta}$ y tenemos que resolver $$u_{\zeta}=h(t+4x)$$ (He omitido en el factor 2, porque la $h$ es una función arbitraria). Puedo simplemente integrar ahora y concluir $$u=f(\zeta)h(t+4x)+g(\eta)=f(x+t)h(t+4x)+g(x-t)$$ Este parece mal para mí...

Un poco de ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Tenga en cuenta que, desde el pde es con coeficientes constantes, entonces debemos proceder de la

$$u_{xx}-3u_{xt}-4u_{tt}=0\implies(\delta_x-4\delta_t)(\delta_x+\delta_t)u=0$$

$$\implies(\delta_xu-4\delta_tu=0)\cup(\delta_xu+\delta_tu=0)$$

$$\implies\left\{u(x,t)=F(4x+t)\right\}\cup\left\{u(x,t)=G(t-x)\right\}$$

$$\implies u(x,t)=F(4x+t)+G(t-x)$$

$$\implies u(x,t)=f\left(x+\dfrac{t}{4}\right)+g(x-t)$$

$$u(x,0)=x^2\implies f(x)+g(x)=x^2$$

$$u_t(x,0)=e^x\implies\dfrac{f'(x)}{4}-g'(x)=e^x\implies\dfrac{f(x)}{4}-g(x)=e^x+c$$

$$\therefore f(x)=\dfrac{4x^2+4e^x+4c}{5},g(x)=\dfrac{x^2-4e^x-4c}{5}$$

$$\therefore u(x,t)=\dfrac{4\left(x+\dfrac{t}{4}\right)^2+4e^{x+\frac{t}{4}}+(x-t)^2-4e^{x-t}}{5}$$