Demostrando $\int_0^\infty e^{-(1-a^2)x^2} \cos(2ax^2)dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2(1+a^2)}$

Question

Trato de mostrar que la siguiente integral (para $0<a<1$) da:

$\int_0^\infty e^{-(1-a^2)x^2} \cos(2ax^2)dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2(1+a^2)}$

Supongo que el camino a seguir es compleja Integración y usando el hecho de que este es el mismo como $\frac{1}{2}\int_{- \infty}^\infty e^{-(1-a^2)x^2} \cos(2ax^2)dx $

Primero traté de usar una forma rectangular ruta de acceso en el plano complejo, que yo haya podido utilizar en un problema similar hace un tiempo. Mal no recuerdo, que parece ser que esto solo funciona para un término lineal $2ax$ i el coseno.

EDIT: de Esta manera se muestra de una manera muy parecida a como lo hice en: Evaluatig: $\int_{0}^{\infty}{e^{ax^2}\cos(bx)dx}$ Pero como se mencionó - esto no parece funcionar en mi caso...

Mi segunda idea fue la de obtener algunos consejos para el camino que debo utilizar por sobre el resultado. Así que supongo (porque no es $(1+a^2)$ en el denominador) necesito integrar las $e^{-(1+a^2)^2x^2}$ para obtener este término a través de la integral de Gauss $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-bx^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{b}}$. Aunque traté de encontrar algún completa de la plaza yo no era capaz de producir las condiciones necesarias (sin llegar cargas de los residuos, lo que hace que sea difícil de nuevo)

Yo estaría muy agradecido, si alguien me pudiera ayudar o darme una idea de cómo resolver esta integral!

Gracias!

Answer 1

$$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty dx \; e^{-(1-a^2)x^2} \cos 2ax^2 &=& \frac{1}{4} \int_{-\infty}^\infty dx \; e^{-(1-a^2)x^2} (e^{i 2ax^2} + e^{-i 2ax^2})\\ &=& \frac{1}{4} \int_{-\infty}^\infty dx \; e^{-(1-a^2-2ia)x^2} + e^{-(1-a^2+2ia)x^2}\\ &=& \frac{1}{4} \int_{-\infty}^\infty dx \; e^{-(1-ia)^2 x^2} + e^{-(1+ia)^2 x^2}\\ &=& \frac{1}{4} ( \frac{\sqrt{\pi}}{1-ia} + \frac{\sqrt{\pi}}{1+ia})\\ &=& \frac{\sqrt{\pi}}{4} \frac{2}{1+a^2} \end{eqnarray*} $$

Answer 2

$$\newcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \begin{align} \int_0^\infty e^{-\left(1-a^2\right)x^2}\cos\left(2ax^2\right)\,\mathrm{d}x &=\frac12\int_0^\infty e^{-\left(1-a^2\right)x^2}\left(e^{i2ax^2}+e^{-i2ax^2}\right)\mathrm{d}x\tag1\\ &=\frac12\int_0^\infty\left(e^{-[(1-ia)x]^2}+e^{-[(1+ia)x]^2}\right)\mathrm{d}x\tag2\\ &=\Re\left(\int_0^\infty e^{-[(1+ia)x]^2}\mathrm{d}x\right)\tag3\\ &=\Re\left(\frac1{1+ia}\int_0^{(1+ia)\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x\right)\tag4\\ &=\Re\left(\frac1{1+ia}\int_0^\infty e^{-x^2}\mathrm{d}x\right)\tag5\\ &=\frac{\sqrt\pi/2}{1+a^2}\tag6 \end{align} $$ Explicación:
$(1)$: $\cos(x)=\frac12\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)$
$(2)$: combinar y factor de los exponentes
$(3)$: $\Re(z)=\frac12\left(z+\bar{z}\right)$
$(4)$: sustituto $x\mapsto\frac{x}{1+ia}$
$(5)$: La integral a lo largo de $(1+ia)[0,R]$ es igual a la integral a lo largo de
$\phantom{(5)\text{:}}$ $[0,R]\cup [R,R(1+ia)]$ y la integral a lo largo de $[R,R(1+ia)]$
$\phantom{(5)\text{:}}$ desvanece como $R\to\infty$
$(6)$: $\Re\left(\frac1{1+ia}\right)=\frac1{1+a^2}$