Representaciones Vectoriales y Paquetes sobre la Clasificación de Espacio

Question

Estoy simplemente tratando de entender la instrucción siguiente me llegó a través de la lectura.

El texto no proporciona una referencia o una recapitulación de la construcción que explica este hecho. Estoy adecuadamente versado en las definiciones de la representación, de la Mentira de grupo, y el vector paquete, por lo que, probablemente, no entiendo la clasificación de espacio $BG$ lo suficientemente bien como para saber cómo se iba a trabajar. Si alguien pudiera aclarar lo agradecería.

Answer 1

Para una Mentira grupo $G$, uno que tiene como principal $G$-bundle $G\hookrightarrow EG\to BG$ sobre la clasificación de espacio $BG$. En este caso, $EG$ es un derecho $G$-espacio, y una representación de $\rho:G\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ da $\mathbb{C}^n$ a la izquierda de la acción de $G$ por: $$g\cdot v := (\rho(g))(v).$$ Ahora, la forma de los asociados bundle $EG\times_G\mathbb{C}^n\to BG$ como sigue: $EG\times_G\mathbb{C}^n$ se define como el cociente del espacio: $$EG\times_G\mathbb{C}^n := \frac{EG\times\mathbb{C}^n}{(x,v)\sim (x\cdot g,g^{-1}\cdot v)}$$ El mapa de $EG\times\mathbb{C}^n\xrightarrow{\ \pi_1 \ }EG\xrightarrow{\ p \ }BG$ factores a través de $EG\times_G\mathbb{C}^n$ dando un mapa: $$\bar{p}:EG\times_G\mathbb{C}^n\to BG,\quad \bar{p}[x,v] = p(x).$$ En esta respuesta voy a explicar cómo obtener el como banalizaciones.

Como un ejemplo rápido, si usted toma el $U(1)=S^1$ a ser su Mentira grupo, a continuación, la clasificación del espacio $BU(1)$ es el Grassmanian $\operatorname{Gr}_1(\mathbb{C}^{\infty})=\mathbb{CP}^{\infty}$, e $EU(1)$ es el Stiefel colector $V_1(\mathbb{C}^{\infty})$. Si tomamos nuestra representación para la inclusión $\rho:U(1)\hookrightarrow\operatorname{GL}_1(\mathbb{C})$, entonces los asociados bundle $EU(1)\times_{U(1)}\mathbb{C}$ es, precisamente, el canónica de la línea de paquete de más de $\mathbb{CP}^{\infty}$. De hecho, la retirada de $EU(1)\to \mathbb{CP}^{\infty}$ sobre la inclusión $i:\mathbb{CP}^n\hookrightarrow\mathbb{CP}^{\infty}$ es la canónica de la línea de paquete de más de $\mathbb{CP}^n$.