Estoy tratando de mostrar a $\int^\infty_0\frac{\sin(x)}{x}dx=\frac{\pi}{2}$

Question

Estoy tratando de mostrar a $\int^\infty_0\frac{\sin(x)}{x}dx=\frac{\pi}{2}$

Fue un ejercicio de un libro sobre análisis complejo, así que he ido a través del plano complejo para hacerlo!

Considere la posibilidad de un semi-círculo, donde |z|=R y $0<\arg(z)<\pi$.

considerar otro, exactamente la misma definición pero de intercambio R $\epsilon$, quiero integrar de -R a $-\epsilon$ sobre el semi-círculo que se inicia en $-\epsilon$$\epsilon$, a continuación, a lo largo de la línea recta en R, de R en sentido anti-horario con-R.

Me ha dado la pista de que la integral en el sentido contrario de la dirección es cero, pero la dirección a la derecha (por la $\epsilon$) es -j$\pi$

Aquí está el problema, mi función es: $f(z)=\frac{e^{jz}}{z}$

He establecido que f(z)dz = $je^{jz}$ pero ninguna cantidad de jugar ha hecho esta expresión tolerable.

Porque estoy considerando la integral de 0 a infinito, si puedo obligado por la parte de arriba de alguna manera por cero puedo "sándwich" entre 0 y algo que tiende a cero.

Hasta el momento no hay suerte.

Answer 1

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$

1. \begin{align}\color{#0000ff}{\large% \int_{-\infty}^{\infty}{\sin\pars{x} \over x}\,\dd x} &= \int_{-\infty}^{\infty}\pars{\half\int_{-1}^{1}\expo{\ic k x}\,\dd k}\,\dd x = \pi\int_{-1}^{1}\pars{\int_{-\infty}^{\infty}\expo{\ic k x}\,{\dd x \over 2\pi}} \,\dd k \\[3mm]&= \pi\int_{-1}^{1}\delta\pars{k} = \color{#0000ff}{\Large\pi} \end{align}
2. \begin{align} 0& =\int_{-R}^{-\epsilon}{\expo{\ic x} \over x}\,\dd x + \int_{\pi}^{0}{\expo{\ic\epsilon\expo{\ic\theta}} \over \epsilon\expo{\ic\theta}}\, \epsilon\expo{\ic\theta}\ic\,\dd\theta + \int_{\epsilon}^{R}{\expo{\ic x} \over x}\,\dd x + \int_{0}^{\pi}{\expo{\ic R\expo{\ic\theta}} \over R\expo{\ic\theta}}\, R\expo{\ic\theta}\ic\,\dd\theta \end{align} Con el límite de $\epsilon \to 0^{+}$: \begin{align} 0& =\lim_{\epsilon \to 0^{+}}\pars{\int_{-R}^{-\epsilon}{\expo{\ic x} \over x}\,\dd x + \int_{-\epsilon}^{-R}{\expo{-\ic x} \over x}\,\dd x} - \ic\pi + \ic\int_{0}^{\pi}\expo{\ic R\expo{\ic\theta}}\,\dd\theta \\[3mm]&= -2\ic\int_{0}^{R}{\sin\pars{x} \over x}\,\dd x -\ic\pi + \ic\int_{0}^{\pi}\expo{\ic R\expo{\ic\theta}}\,\dd\theta \\[5mm] \color{#0000ff}{\large% \int_{0}^{\infty}{\sin\pars{x} \over x}\,\dd x} &= \color{#0000ff}{\large{\pi \over 2}} + {1 \over 2}\overbrace{\lim_{R \to \infty} \int_{0}^{\pi}\expo{\ic R\cos\pars{\theta}}\expo{-R\sin\pars{\theta}}\,\dd\theta} ^{\ds{=\ 0}} \end{align}

Answer 2

Aunque esto no es lo que usted solicitó originalmente, permítanme ofrecerles un muy elegante real de la variable de enfoque, por un cambio. De hecho, me escribió un extenso post en el blog sobre este, con unos buenos gráficos, hace un tiempo, así que aquí voy a darte la bare bones croquis. El argumento viene de Introducción al Cálculo y Análisis, vol. Yo, por Richard Courant y Fritz John, Interscience Editores (1965), reproducido por Springer (1989).

Nota primero que $\displaystyle\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,dx=\sum_{k=0}^\infty a_k$ donde $\displaystyle a_k=\int_{\pi k}^{\pi(k+1)}\frac{\sin x}x\,dx=\int_0^\pi\frac{(-1)^k\sin t}{\pi k +t}\,dt$. Esto muestra que la integral converge, por el criterio de Leibniz.

Segundo, tenga en cuenta que $\displaystyle\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,dx=\lim_{\rho\to\infty}\int_0^{\pi\rho}\frac{\sin x}{x}\,dx=\lim_{\rho\to\infty}\int_0^\pi\frac{\sin(\rho t)}{t}\,dt$.

Tercero, y esto es la clave, $\displaystyle \lim_{k\to\infty}\int_0^\pi\sin\left(\left(k+\frac12\right)t\right)\left(\frac1t-\frac1{2\sin(t/2)}\right)\,dt=0$. Para ver esto, vamos a $\displaystyle f(t)=\frac1t-\frac1{2\sin(t/2)}$. Compruebe que $\lim_{t\to0^+}f(t)=0$ y, la definición de $f(0)=0$, $f'(0)$ existe y es igual a $-1/24=\lim_{t\to0^+}f'(t)$. De ello se desprende que $f$ es continuamente diferenciable en a$[0,\pi]$, por lo que podemos integrar por partes para obtener $$ \int_0^\pi\sin((k+1/2)t)f(t)\,dt=\frac1{k+1/2}\int_0^\pi\cos((k+1/2)t)f'(t)\,dt\to_{k\to\infty}0. $$

De ello se desprende que $\displaystyle\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,dx=\lim_{k\to\infty}\int_0^\pi\frac{\sin(k+\frac12)x}{2\sin(x/2)}\,dx$.

Cuarto, recordar la identidad de $\displaystyle f_k(t)=\frac{\sin(k+\frac12)t}{2\sin(t/2)}$, donde $$ f_k(t)=\frac12+\cos t+\cos(2t)+\dots+\cos(kt). $$ It follows that $\displaystyle \int_0^\pi\frac{\sin(k+\frac12)t}{2\sin(t/2)}\,dt=\int_0^\pi f_k(t)\,dt= \frac{\pi}2$, y hemos terminado.

Answer 3

Puesto que el integrando es función par, entonces usted puede considerar la posibilidad de

$$ \int^\infty_0\frac{\sin(x)}{x}dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx .$$

Answer 4

Por último, el uso de la sugerencia anterior, podemos terminar diciendo, $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^iz}{z-0}dz=Im(2i\pi(Res_{z=0}f(z)))=Im(2i\pi(e^{iz}|_{z=0})) = Im(2i\pi*1)= 2\pi \Rightarrow \int_{0}^{\infty}\frac{e^iz}{z-0}dz=\pi$

Queremos imaginario, ya que estamos buscando en $\sin$. Me he saltado algunos detalles, pero se los dejo a ustedes para llenar el resto. :)

Específicamente: Jordania lema a deducir $\int_{c_R}\frac{e^{iz}}{z} dz = 0$