Estoy tratando de encontrar una prueba detrás de una pequeña propuesta. Recordemos que un espacio topológico satisface los contables de la cadena de condición si cada uno de los distintos colección de abrir conjuntos contables.
¿Por qué se da el caso de que todos los espacios separables satisface el CCC, pero el recíproco no es cierto?
Gracias.
He estado tratando de llegar con un simple ejemplo para responder a su pregunta, aunque la answes de curso completo y genial, todavía me pareció un simple ejemplo. Así que aquí está:
Cada separable espacio CCC. El recíproco no es cierto.
Por ejemplo:
Deje $X$ ser un espacio con $|X|= \aleph_1$, vamos a $\tau_X= \lbrace U: X\setminus U \text{ is countable } \rbrace$. Este espacio es el CCC, pero no separable.
Prueba: $X$ es no separable: para cualquier contables set $A \subset X$, claramente, $U=X\setminus A$ es abierto y $U \cap A=\emptyset$.
$X$ CCC: si $X$ tiene innumerables discontinuo abrir conjuntos de $\lbrace \cal U_\xi: \xi \in \aleph_1\rbrace$. Elegir un conjunto abierto, por ejemplo, $U_0$. Debido a $X \setminus U_0$ es incontable, es una contradicción con $U_0$ está abierto.
El Suslin línea es un espacio topológico que tiene la CCC de la propiedad, pero no es separable.
Sin embargo, demostrando que la línea de Suslin existe no se puede hacer en $ZFC$. Por qué?
Asumiendo $V=L$ (El axioma de constructibility) implica ciertas propiedades combinatorias de los cuales se puede construir una línea de Suslin, sin embargo asumiendo diferentes axioma $MA$ (Martin axioma) podemos demostrar que no Suslin línea existe.
El resultado de esto es que no podemos probar de ZFC solo que cada CCC espacio es separable.
Agregado: (Para hacer esta respuesta completa, voy a añadir la respuesta correcta dada por Henno Brandsma en los comentarios)
No podemos demostrar en ZFC que el CCC espacios son separables porque $\{0,1\}^X$ ha CCC para cualquier $X$, pero es sólo separables para $|X|\le\frak c$. En particular, teniendo en $X=P(\mathbb R)$ nos da un CCC espacio que no es separable.
Se explica en este MathOverflow pregunta que hay muchos espacios que son de la ccc, pero no separables, incluidos los productos de la ccc separables espacios con suficiente muchos factores no triviales. En particular, no hay ninguna ZFC independencia en esta pregunta: se puede demostrar que hay ccc espacios que no son separables.
Otros ejemplos incluyen los numerosos casos de ccc, obligando a nociones que no tienen contables denso conjunto, que son muy comúnmente considerados en forzar argumentos.
Mi entendimiento es que en la clase de todos los espacios topológicos, existen ccc espacios que no son separables (y hay ejemplos (*) de estos). Pero, si nos restringimos nuestra atención a los espacios con el fin de topología, la pregunta es indecidible en ZFC (Véase el Suslin Hipótesis).
Asumiendo el Axioma de Martin (+$\neg$CH), SH es cierto (para espacios con el fin de topología, ccc implica separables). Se puede demostrar que un producto de la no-separables ccc espacios no ccc, sin embargo, MA implica productos de la ccc espacios ccc.
Así, en particular, los espacios en los ejemplos * debe tener topologías que no son equivalentes con cualquier orden de la topología en el conjunto subyacente.
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