Puede un LS estimador de ser imparcial si hay infinitas soluciones?

Question

Vamos

$$\mathbf{y} =\mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{\eta} $$

donde $\mathbf{\eta}$ es un vector de muestras de blanco, cero significa ruido Gaussiano. Quiero estimación $\mathbf{x}$ (que es determinista) determinado $\mathbf{y}$ utilizando el método de mínimos cuadrados.

Si el problema tiene una solución única, entonces el estimador $\mathbf{\hat{x}} =(\mathbf{A}^T\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^T\mathbf{y} $ es imparcial.

Sin embargo, si $\mathbf{A}$ es no tiene rango completo, entonces hay infintely muchas soluciones $\mathbf{\hat{x}}$. Son estos (o algunos de ellos, o uno de ellos) imparcial? Hay una prueba respecto a este tema que he podido leer?

Answer 1

Si $\mathbf A$ no tiene rango completo, entonces el modelo no es de identificación personal, lo que implica que un estimador imparcial no existe.

Aquí es lo que la prueba se ve como en esta situación específica. Si $\mathbf A$ no tiene rango completo, entonces existen dos vectores $\mathbf x^{(1)}$ $\mathbf x^{(2)}$ tal que $\mathbf A\mathbf x^{(1)} = \mathbf A\mathbf x^{(2)}$. En este caso, los datos de $\mathbf y = \mathbf A\mathbf x + \eta$ tiene la misma distribución en virtud del tanto $\mathbf x = \mathbf x^{(1)}$$\mathbf x = \mathbf x^{(2)}$. Supongamos entonces que un estimador imparcial $T(\mathbf y)$ fueron de existir. Entonces, por la definición de $T(\mathbf y)$ ser imparcial, debemos tener $E_{\mathbf x^{(1)}}(T(\mathbf y)) = \mathbf x^{(1)}$ donde $E_{\mathbf x^{(1)}}$ denota el valor esperado adoptadas en el marco del escenario donde se $\mathbf x=\mathbf x^{(1)}$. Asimismo,$E_{\mathbf x^{(2)}}(T(\mathbf y)) = \mathbf x^{(2)}$. Y sin embargo, ya $\mathbf y$ tiene la misma distribución de los si $\mathbf x = \mathbf x^{(1)}$ o $\mathbf x = \mathbf x^{(2)}$, se deduce que el $T(\mathbf y)$ también tiene la misma distribución en ambos de estos escenarios, lo que significa que $E_{\mathbf x^{(1)}}(T(\mathbf y)) = E_{\mathbf x^{(2)}}(T(\mathbf y))$. Poner esto juntos da $\mathbf x^{(1)} = \mathbf x^{(2)}$, lo cual es una contradicción ya que el $\mathbf x^{(1)}$ $\mathbf x^{(2)}$ fueron elegidos para ser distintos.