Iterada Parte Fraccionaria De La Función

Question

Deje $f(x)=|2\{x\}-1|$ donde $\{x\}$ denota la parte fraccionaria de $x$. El número de $n$ es el menor entero positivo tal que la ecuación de $nf(xf(x))=x$ tiene al menos $2012$ soluciones reales. ¿Qué es $n$?

Answer 1

Observe que $0\leq f\leq 1$ así que sólo tiene que preocuparse de $x\in [0,n]$ en la solución de $nf(u)=x$. Observe también que $f$ desaparece sólo en la mitad de enteros, y alcanza su máximo de $1$ en los enteros.

Re-escribir $f$ a trozos, para cualquier $k\in\mathbb{N}_0:$

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{l l} 2k+1-2x & \quad \text{for}\;k\leq x<k+\frac{1}{2}\\ 2x-2k-1 & \quad \text{for}\;k+\frac{1}{2}\leq x<k+1 \end{array} \right.$$

Considere la posibilidad de:

$$xf(x) = \left\{ \begin{array}{l l} 2kx+x-2x^2 & \quad \text{for}\;k\leq x<k+\frac{1}{2}\\ 2x^2-2kx-x & \quad \text{for}\;k+\frac{1}{2}\leq x<k+1 \end{array} \right.$$ Observar que $xf(x)$ disminuye monótonamente de $k$ $0$ $[k,k+\frac{1}{2}]$y aumenta monótonamente a $k+1$ en $[k+\frac{1}{2},k+1]$ ($k=0$ es una excepción a la primera declaración, pero ella todavía está de acuerdo con lo que sigue).

Esto implica que $xf(x)$ de aciertos media enteros exactamente $k$ veces $[k,k+\frac{1}{2}]$ $k+1$ veces $[k+\frac{1}{2},k+1]$. En otras palabras, $f(xf(x))$ se desvanece exactamente $2k+1$ veces $[k,k+1]$.

Por tanto, para $x\in [0,n],\;f(xf(x))$ debe desaparecer exactamente $\displaystyle\sum_0^{n-1} 2k+1=n^2$ veces.

Por lo tanto, $nf(xf(x))$ oscilará entre el $0$ $n$ exactamente $n^2$ veces $[0,n]$, y dado que para cada oscilación $y=x$ se cruzan $nf(xf(x))$ dos veces, el número de soluciones a$x=nf(xf(x))$$2n^2$.

$$2012\leq 2n^2\Rightarrow\sqrt{1006}\leq n$$

Desde $\sqrt{1006}\approx 31.71$ el más pequeño $n$$32$.