¿Por qué hemos de definir los módulos a ser más *abelian* grupos?

Question

Se define un módulo de ser un abelian grupo $M$ junto con un anillo de acción $R \times M \to M$ que satisface ciertas propiedades. Q: ¿por Qué se requiere que el $M$ es abelian?

Sé que los módulos de generalizar a espacios vectoriales y abelian grupos y, en un sentido, las representaciones. Pero, ¿por qué no llevarlo más allá y relajar el grupo subyacente? Tengo curiosidad acerca de si esta definición simplemente produce un más manejable colección de objetos, etcétera. En una nota relacionada, lo que se puede decir al $M$ no es abelian?

Answer 1

Aparte de la observación de que ya se ha hecho en otros comentarios que el otro módulo axiomas ya la fuerza de un módulo para ser abelian, permítanme hacer las siguientes observaciones filosóficas.

Anillos, naturalmente, quiere actuar en abelian grupos, en el siguiente sentido: usted puede hacer sentido de la noción de monoid $M$ en cualquier categoría monoidal $(V, \otimes)$, y una vez que usted tiene un monoid uno muy natural noción de una acción de la que monoid es otro objeto $S$ $V$ y un mapa de acción $M \otimes S \to S$ la satisfacción de ciertos axiomas. Por ejemplo:

• Si $V = (\text{Set}, \times)$, luego de un monoid en $V$ es un monoid (por ejemplo, un grupo) en el sentido usual de la palabra y un monoid de acción es un conjunto en el que la monoid actos en el sentido usual de la palabra.
• Si $V = (\text{Top}, \times)$, luego de un monoid en $V$ es topológico, monoid (por ejemplo, un grupo topológico, por ejemplo, una Mentira grupo) y un monoid acción es un espacio topológico en el que el monoid actúa de forma continua.
• Si $V = (\text{Ab}, \otimes)$, luego de un monoid en $V$ es un anillo (ejercicio!) y un monoid acción es un módulo sobre el anillo en el sentido usual de la palabra.

Así que hay bastante definición general de lo que significa para un monoid para actuar en algo, y se aplica a los anillos-como-monoids-en-$\text{Ab}$ reproduce la noción usual de módulo.

En realidad hay otro muy general de lo que podemos hacer. Podemos hacer sentido de lo que significa para un monoid en $V$ a actuar en un objeto de cualquier categoría que está enriquecido $V$: es decir, si $M$ es un monoid en $V$ $C$ $V$enriquecido con la categoría, luego de un monoid acción en un objeto $S$ $C$ es una de morfismos $M \to \text{End}(S)$ de monoids (en $V$). Por ejemplo:

• Si $V = (\text{Set}, \times)$, $V$enriquecido categoría es un (a nivel local pequeño) de la categoría, por lo que monoids puede actuar sobre los objetos en prácticamente cualquier categoría.
• Si $V = (\text{Ab}, \otimes)$, $V$enriquecido categoría es un preadditive categoría (por ejemplo, un abelian categoría), por lo que los anillos pueden actuar sobre los objetos en cualquier categoría. Los ejemplos incluyen las categorías de los complejos de la cadena o gavillas de abelian grupos.

La primera construcción se convierte en un caso especial de la segunda construcción de la si $V$ es cerrado monoidal; en este caso, la especificación de un mapa de acción $M \otimes S \to S$ es lo mismo que especificar un mapa de $M \to [S, S]$, donde los corchetes indican interna hom, y los axiomas de un mapa de acción son equivalentes a la necesidad de que este mapa $M \to [S, S]$ es una de morfismos de monoids.

La categoría monoidal de abelian grupos de producto tensor está cerrado monoidal, de modo que las observaciones se aplican a él. En particular, si $A$ $B$ son dos abelian grupos, entonces el conjunto $\text{Hom}(A, B)$ de homomorphisms entre ellos, naturalmente, adquiere un abelian la estructura del grupo. Esto significa que si $A$ es un grupo abelian, a continuación, $\text{End}(A)$ natural tiene una estructura de grupo abelian además de una segunda monoid estructura dada por la composición; de hecho, es, naturalmente, un anillo, el universal anillo actuando en $A$. Esto no sucede para los no-necesariamente-abelian grupos.

La categoría de abelian grupos es realmente algo especial por su propia cuenta. No es sólo conveniente subcategoría de la categoría de grupos; lo que realmente tiene su propia estructura, que la categoría de los grupos no tienen. (Los grupos tienen su propia estructura, a pesar de que: la categoría de los grupos puede ser enriquecida a través de la categoría de groupoids. Pero esa es otra historia.)

Answer 2

Deje $R$ ser un anillo con $1$. Si $M$ es un grupo, por escrito multiplicatively, equipado con un $R$-acción, entonces, para cualquier $x,y\in M$, $(xy)^2 = (1+1)\cdot (xy) = [(1+1)\cdot x][(1+1)\cdot y] = x^2 y^2$. Por lo $yx=xy$, e $M$ es abelian.

Si $R$ no tienen un $1$, entonces llegamos a la conclusión de que sólo $rM$ es abelian para todos los $r\in R$. En este caso, podríamos ser capaces de definir no conmutativa módulos, pero son propensos a ser muy incómodo. Por ejemplo, supongamos $R=\{0,\epsilon\}$$\epsilon+\epsilon=\epsilon^2=0$, que es el más simple no unital anillo. A continuación, un no conmutativa $R$-módulo puede ser descrito por un grupo de $G$, un subgrupo normal $N\lhd G$, y un abelian subgrupo $A \leq N$ isomorfo a $G/N$ (el cociente $G\to G/N$ es la multiplicación de mapa de $\epsilon\cdot: G\to \epsilon G$). La comprensión de las maneras en que esto puede suceder es muy sutil, probablemente intratable, y sin duda sólo tangencialmente relacionado con el estudio de la $R$.

Otra perspectiva: un módulo es sólo un cociente de un módulo. Así que si queremos que no conmutativa módulos, a continuación, queremos considerar, por ejemplo, $R * R$, la amalgama de productos, para ser un módulo sobre $R$. Pero $r(R*R)=(rR)*(rR)$ nunca abelian menos $rR=0$, así que esto es sólo una $R$-módulo al $R$ ha trivial de la multiplicación.

En resumen, la suma siempre debe ser conmutativa. Si realmente quería pensar en un no-grupo abelian como un módulo más de algo, probablemente yo trabajo en una semigroup $S$, y definir un $S$-módulo de ser un grupo de $G$ y un semigroup homomorphism $S\to\operatorname{End}(G)$ (una forma de definir un $R$-módulo es un grupo abelian $M$ con un homomorphism de los anillos de $R\to \operatorname{End}(M)$).

Answer 3

La proposición. Deje $R$ denotar un unital anillo. Supongamos $M$ $R$- módulo cuyo subyacente grupo no es necesariamente abelian. A continuación, $M$'s subyacente grupo abelian.

Prueba. Considere la posibilidad de $x,y \in M$. A continuación, $2(x+y) = 2x+2y$ donde $2$ es la abreviatura de $1_R+1_R$. Por lo $x+y+x+y = x+x+y+y$. Por la cancelación, $y+x=x+y$.

Por eso, si vamos a considerar no abelian módulos, entonces también debemos soltar la condición de que $a(x+y) = ax+ay$ todos los $a \in R$ y todos los $x,y \in M$. Una vez que hemos hecho esto, hay un montón de ejemplos de tales cosas. Por ejemplo, cualquier grupo, que se denota de forma aditiva, se convierte en un no-abelian $\mathbb{Z}$-módulo de la siguiente manera.

$$nx = \underbrace{x +\cdots + x}_n, \qquad 0x = 0, \qquad (-1)x = -x$$

Esto satisface todos los módulo de axiomas que estamos acostumbrados, a excepción de$n(x+y) = nx+ny$, lo que claramente no se sostiene. Observa, en particular, que el axioma $(a+b)x = ax+bx$ aún se mantiene.

De todos modos, ya hemos quitado uno de nuestros "distributividad" las leyes, es decir,$a(x+y)=ax+ay$, probablemente tiene sentido permitir a $R$ es una arbitraria cerca de anillo.