Como un estudiante de física veo la serie de Taylor (ab)usa muy a menudo, sobre todo por la expansión de $\exp(x)$. Lo habitual es que aunque el error (resto) plazo de un alto orden es probablemente insignificante con una muy pequeña desviación $\Delta x$ de la expansión de punto de $x_0$. Me he estado preguntando acerca de la distribución de los errores que se pueden producir y cuánto control que tenemos sobre él.
Supongamos que yo soy la expansión de una función de $f \in C^{(n+1)}(x_0, x)$ a punto de $x_0$ y quiero aproximado de $f(x)$ con devation $\Delta x = x - x_0$, $x \gt x_0$. También supongamos $f(x)$ tiene otras propiedades necesarias para cualquier fórmulas. La expansión de Taylor tendrá la forma $$f(x) = T_n(x_0, x) + R_n(x_0, x)$$ donde $T_n$ es la serie de Taylor de orden $n$ $R_n$ el resto (al cual me refiero como error).
Desde mi cálculo clases recuerdo que la expansión de Taylor sólo garantiza que el error va a ser 0 en el punto de expansión, pero cuanto más lejos me aparten de él, el peor que es probable que obtenga. Digo "probablemente", porque el de Lagrange o de Cauchy forma de que el resto [1] $$R_n(x, x0) \frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi_L)\Delta x^{n+1} = \frac{1}{n!}f^{(n+1)}(\xi_C)\Delta x^{n}(x-\xi_C)$$ dependen $\xi_L, \xi_C \in (x_0, x)$, por lo menos $f^{(n+1)}$ o, al menos, su límite superior (x_0, x) es conocido, uno no puede estar seguro sobre el error. Sin embargo, para un orden muy alto $n$ el plazo será probablemente muy pequeño para $\Delta x \lt 1$ y, posiblemente, disparar a través de la azotea para $\Delta x \gt 1$.
La forma integral de el resto [1] $$R_n(x_0, x) = \int\limits_{x_0}^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\mathrm{d}t$$ también sugiere que el error depende mucho del comportamiento de $f^{(n+1)}$. No estoy seguro de cómo interpretar el hecho de que esto podría representar convolución para $x_0 = 0$ como se discutió en esta pregunta. Sin embargo, se sugiere que para un orden muy alto $n$ y la desviación de la $\Delta x \le 1 $ sólo los valores de $f^{(n+1)}$ $x_0$ contribuirán de manera significativa al término de error, debido a que $(x - t)^n$ será cercano a 0 en gran parte del intervalo $(x_0, x)$ y rápidamente se elevan hacia sólo alrededor de 1 $x_0$.
Por eso me pregunto si hay alguna alternativa en función de las expansiones (preferiblemente como una potencia de la serie) que ofrecen más control sobre el error. Por ejemplo, si el requisito de que el error debe ser 0 en la expansión de punto de ser relajado, algunos de error podría ser, tal vez, re-distribuido de la desviación obligado hacia la expansión de punto. Idealmente, me gustaría especificar un error de la función de distribución de y encontrar una expansión que iba a satisfacer, al menos como un límite superior. La función de distribución puede ser inferida a partir de por ejemplo, el error de estimación de $x$ si representa los datos experimentales. La distribución de error es muy importante con los datos experimentales en general, así que también me pregunto si hay mejores maneras de manipular dentro de los cálculos matemáticos que expansión de Taylor no hace fácil.
Referencias: [1] http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem#Explicit_formulae_for_the_remainder
