Convergencia en distribución de rv.

Question

Tengo la secuencia de independiente de r.v. $(X_n)$ con distribuciones $$\Pr\left(X_n = \frac1{\sqrt n}\right)=\Pr\left(X_n=-\frac1{\sqrt n}\right) = \frac12$$ Debo encontrar la distribución para que los dos procesos siguientes convergen en la distribución: $$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i,\qquad Z_n = \sum_{i=n+1}^{2n} X_n.$$ A partir de algunos experimentos llegué a la conclusión de que esta distribución debe ser una Gaussiana. Mi idea era usar el Lindeberg principio y, a continuación, el Portemanteau teorema. Tengo que $$E[X_n] = 0 \, \forall n, E[X_n^2]=\frac1n \quad\text{ and }\quad E[|X_n|^3]=O(n^{-3/2})$$

Ahora puedo elegir el sequnce de iid Gaussiano r.v. $W_n \sim \mathcal{N}(0,1/n)$. Utilizando el principio tengo que $$|E[g(X_1+\ldots+X_n)]-E[g(W_1+\ldots+W_n)] \leq \frac{C}{6}\sum_{i=1}^{n}(E(|X_i|^3)+E(|W_i|^3)) \text{ and } \\|E[g(X_{n+1}+\ldots+X_{2n})]-E[g(W_{n+1}+\ldots+W_{2n})] \leq \frac{C}{6}\sum_{i=n+1}^{2n}(E(|X_i|^3)+E(|W_i|^3))$$ La aproximación de $$\sum_{i=1}^{n}(E(|X_i|^3)+E(|W_i|^3)= \int_1^n(E(|X_i|^3)+E(|W_i|^3)$$ since both the third moments are $O(n^{-3/2})$ we get something $O(n^{-1/2}) \a 0$ as $n\+\infty$.

Actualización: de momento puedo decir que la secuencia de r.v. $$Z_n = X_{n+1}+\dots+X_{2n} \to W_{n+1}+\dots+W_{2n}, W_i \sim \mathcal{N}(0,1/i)$$ en la distribución, gracias a la Linderberg Principio.

También, siendo Normal r.v. el $W_i$ su suma es en sí misma una Normal r.v. $W$ , con una media de $0$ $$Var(W)=\sum_{i=n+1}^{2n}(Var(W_i))\approx ln(2)$$ Puedo concluir que $Z_n\to^d W\sim \mathcal{N}(0,ln(2))$? Me puede ayudar a entender por qué la secuencia de $(Y_n,n\geq 1)$ no converge? Es a causa de que la varianza de los correspondientes normal sería $\approx log(n)$ y no una constante?

Answer 1

Respuesta parcial: vamos a $R_n=\sqrt n X_n$. A continuación, $\{R_n\}$ es yo.yo.d. tomar los valores -1 y 1 con probabilidad 1/2 cada uno. Es bien sabido que $\sum a_n R_n$ converge casi seguramente iff converge en distribución iff converge en probabilidad iff $\sum a_n^{2} <\infty$. Desde $\sum \frac 1 n =\infty$ se sigue que $\{Y_n\}$ no converge en ningún sentido. (Referencia: búsqueda de Khinichine de las Desigualdades y de Ito -Nisio Teorema).