¿Los números imaginarios también se clasifican en números algebraicos y no algebraicos, al igual que los números reales?

Question

Sé que los números reales pueden ser algebraicos o no algebraicos (si no pueden ser la solución de una ecuación algebraica).

¿Los números imaginarios también se dividen en estas dos categorías?

Answer 1

Por supuesto. Lo mismo ocurre con los números complejos con parte real no nula y parte imaginaria no nula.

Considere por ejemplo $\pi$ , un número trascendental puramente real. Multiplícalo por $i$ para obtener el número puramente imaginario $\pi i$ que tampoco es algebraica, ya que no es solución de ninguna ecuación algebraica al igual que $\pi$ tampoco lo es.

Si redondeamos $\pi i$ "abajo" a $3i$ obtenemos no sólo un número algebraico sino un entero algebraico, una solución a la ecuación $x^2 + 9 = 0$ . Intentemos $\frac{3i}{2}$ que también es un número algebraico ya que es una solución de la ecuación $4x^2 + 9$ .

Lo principal a tener en cuenta es que muchas (pero no todas) de las propiedades de los números reales se "rotan" de la recta de los números reales a la recta de los números imaginarios.

Puedes jugar con Wolfram Alpha, haciéndole preguntas como is (1 + sqrt(-7))/2 an algebraic number?

Answer 2

Sí. Por ejemplo, $i$ es algebraico, ya que es una raíz de $x^2+1$ .