Cálculo integral utilizando la fórmula integral de Cauchy en dos variables

Question

Quiero calcular la integral:$\iint_{\partial_0P}\frac{1}{1-4zw}dzdw$ (o una integral similar) utilizando la fórmula integral de Cauchy para dos variables complejas sobre los polidiscos. El límite distinguido está dado por:$\partial_0P={\{(z,w):|z|=1, |w|=1}\}$.

En ninguna parte en línea he encontrado un ejemplo de cómo calcular tal integral. Estaría muy agradecido si alguien pudiera mostrarme cómo hacerlo o dar un enlace a un texto con ejemplos.

Answer 1

Por lo general, uno evalúa tales integrales por integración iterada. A veces es considerablemente más simple de evaluar en un orden específico, pero aquí la situación es completamente simétrica con respecto al $z$$w$, por lo que el orden es irrelevante, no sólo por el resultado sino también por el camino. Evaluamos el interior de la integral por Cauchy de la integral/fórmula del teorema de los residuos:

$$\int_{\lvert z\rvert = 1} \frac{dz}{1-4zw} = -\frac{1}{4w}\int_{\lvert z\rvert = 1} \frac{dz}{z-\frac{1}{4w}} = \frac{\pi}{2iw},$$

ya tenemos $\lvert w\rvert = 1$ y, por tanto, la singularidad $\frac{1}{4w}$ está rodeado por el círculo unidad. El exterior de la integral se convierte en

$$\frac{\pi}{2i}\int_{\lvert w\rvert = 1} \frac{dw}{w} = \pi^2.$$