Derivada de una suma infinita

Question

Estaba pensando en la derivada de la suma infinita de funciones, es decir,

$$f(x) = \sum_{i = 0}^\infty g_i(x)$$

$g(x)$ es continua en el dominio de $f$

Porque si $(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)$ entonces $\left(\sum\limits_{i = 0}^{\infty} g_i(x)\right)' = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} g_i'(x)$ ¿verdad?

Answer 1

Primero asumo que te refieres a $g_i$ en lugar de $g$, y debes suponer al menos que los $g_i$ son todos diferenciables (más que solo continuos).

Aunque incluso entonces, en general esto es falso. Un caso común donde es cierto es cuando se asume convergencia uniforme de $\sum g_i^{'}$ y al menos un punto de convergencia para $\sum g_i$.

Un contraejemplo bajo tu hipótesis: toma $g_i^{'}(x) = \cos(i \pi x)/i^2$. entonces $\sum g_i$ converge ya que convergen normalmente ($\sum \frac{1}{i^2}< \infty$) pero $\sum g_i^{'}$ diverge en 0 (ya que $\sum \frac{1}{i} = \infty$).