Isomorfismo de la circunferencia afín sobre ciertos campos.

Question

Consideremos el anillo de coordenadas de la circunferencia $$A:=K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1),$$ y supongamos que $K$ es infinito pero no necesariamente cerrado algebraicamente. Me pregunto si $A$ es isomorfo a $$K[X]\text{ or } S^{-1}K[X],$$ donde $S=\{1,X,X^{2},\ldots\}$ . No estoy seguro, pero la respuesta podría ser diferente si $-1$ es un cuadrado en $K$ o no.

Answer 1

Por comodidad, vamos a suponer que $\mathrm{char}(K)\ne 2$ .

Para analizar su situación, considere el modelo proyectivo suave

$$C:X^2+Y^2=Z^2\subseteq\mathbb{P}^2_K$$

de su $\text{Spec}(A)$ . Tenga en cuenta que $C$ es una curva proyectiva suave de género $1$ . Es racional (es decir, isomorfo a $\mathbb{P}^1_K$ ) si y sólo si tiene un punto.

Si $K=\mathbb{R}$ entonces $C$ tiene un $\mathbb{R}$ -punto (¡gracias al OP por señalar un error tonto!). Así, sabemos que $C\cong\mathbb{P}^1_\mathbb{R}$ . Sin embargo, hay que tener en cuenta que el complemento de $\text{Spec}(A)$ en $C$ es $V(X^2+Y^2)$ que es un grado $2$ -punto final $C$ (correspondiente al $\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ -órbita $[\pm i:1:0]$ en $C_\mathbb{C}$ ). Por lo tanto, independientemente, como mencionamos a continuación, $\text{Spec}(A)=C-\{V(X^2+Y^2)\}$ no es isomorfo a $\mathbb{A}^1_\mathbb{R}$ .

Pero, supongamos que $i\in K$ (es decir, que $K$ tiene una raíz de $-1$ ). A continuación, observe que $C$ Tiene razón: $[1:i:0]$ . Así, $C\cong\mathbb{P}^1_K$ . Además, hay que tener en cuenta que $C-\text{Spec}(A)$ es sólo

$$V(X^2+Y^2)=[\pm i:1:0]$$

Así, vemos que $\text{Spec}(A)$ es $\mathbb{P}^1_K$ menos dos $K$ -puntos racionales, por lo que es $\mathbf{G}_m=\text{Spec}(K[t,t^{-1}])$ . Así, en este caso vemos que no es isomorfo a $K[t]$ .

Este último resultado es, en cierto modo, esperable. Coloquialmente $A$ se parece al anillo de funciones sobre un círculo (por ejemplo $\text{Spec}(A)$ es un $K$ -y el grupo de Lie se obtiene como $\text{Spec}(A)(\mathbb{R})$ cuando $K=\mathbb{R}$ es, de hecho, $S^1$ ).

De todos modos, lo anterior demuestra que $K[t]$ NUNCA es isomorfo a $A$ ya que, si fueran isomorfas, lo serían sobre $\overline{K}$ que, como hemos mencionado en el párrafo anterior, no lo son.

Os dejo como ejercicio pensar qué ocurre en la característica $2$ (si realmente quieres :) )