Hace $z^i=i^z$ tienen alguna solución, además de $z=i$ ?

Question

¿Tiene esta ecuación alguna solución?

$$\large{z^i=i^z}$$

Poniendo la forma polar de $z$ es mejor para el lado izquierdo, pero la forma rectangular es adecuada para el lado derecho. ¿Qué hacer? Gracias.

Answer 1

$$ \frac1z\log\left(\frac1z\right)=\frac1i\log\left(\frac1i\right)=-\frac\pi2 $$ Así, hay muchas soluciones, una para cada rama del Función Lambert W : $$ z=e^{-\mathrm{W}\left(-\pi/2\right)} $$ Una solución es Exp[-LambertW[0,-Pi/2]] que es -i .

Otra es Exp[-LambertW[-1,-Pi/2]] que es i .

Sin embargo, otra es N[Exp[-LambertW[1,-Pi/2]],20] que es

1.0213233161306520062 - 4.8683538060775645979 i

Por supuesto, el valor de $z^i$ depende de la rama de $\log(z)$ se utiliza. En el cálculo anterior, he tomado $\log(i)=\pi i/2$ Así que tenemos una definición clara de $$ i^z=e^{\pi iz/2} $$ Sin embargo, $\log(z)$ se determina sólo mod $2\pi i$ y que afecta a $z^i$ por un factor de $e^{2\pi k}$ para $k\in\mathbb{Z}$ .

Por ejemplo, para $z=1.0213233161306520062-4.8683538060775645979\,i$ utilizamos $\log(z)=1.60429091344801115852-7.64719227612459292313\,i$ .

Answer 2

$$i\times \ln(z)=z\times \ln(i)$$ Porque $\ln(i)=\frac{1}{2}i\pi$ que tienes: $\ln(z)=-\frac{1}{2}z\pi$ Así que.., $z=-i$