Demostrando que un espacio convexo está conectado.

Question

Un conjunto $C \subset R^n$ es convexo si dados cualesquiera $x_1, x_2 \in C$, el segmento de línea que conecta $x_1$ y $x_2$ está contenido en C. Mostrar que cualquier conjunto convexo $C \subset R^n$ debe estar conectado.

Yo quiero probar esto suponiendo que C está desconectado y la búsqueda de una contradicción. Yo sé que desde C se desconecta esto significa que tiene un par de vacío abierto conjuntos a y B que en la partición. Así que, si elijo $x_1 \in A$ e $x_2 \in B$, el segmento de línea que une estos dos puntos está contenido en C. Mi idea es mostrar que si el segmento de recta está contenida en C, entonces esto contradice a y B de la apertura. En este trabajo? No puedo encontrar la manera correcta de terminar esta prueba.

Answer 1

Asumir una descomposición $C= A \cup B$ existe como usted ha descrito. Definir $f:C \to \Bbb R$ través $f(x) = 0~ \forall x \in A$ e $f(x)=1~ \forall x \in B$. A continuación, $f:C \to \Bbb R$ es continua. Definir $g:[0, 1] \to C$ través $g(t)=tx_1+(1-t)x_2.$ Entonces $g$ es continua, por lo $f \circ g:[0, 1] \to \Bbb R$ es también continua. Pero $f \circ g$ debe ser discontinua porque (entre otras cosas) viola el Teorema del Valor Intermedio: $f \circ g(0)=0, f \circ g(1)=1, \forall t \in (0, 1)~ f \circ g(t) \neq \frac{1}{2}.$ Que es una contradicción, por lo que no hay dicha descomposición de $C$.

Editado para añadir:

A ver que $f$ es continua, elija $x \in C$. A continuación, $x \in A$ o $x \in B$. Supongamos $x \in A$. Debido a $A$ es abierto, existe una bola abierta $U$ todo $x$ tal que $U \subseteq A$. A continuación, $\forall \epsilon \gt 0 \forall y \in U, |f(y)-f(x)| = 0 \lt \epsilon$, lo $f$ es continua en a$x$. Pero $x$ es arbitrario, por lo $f$ es continua a lo largo de $C$.

Answer 2

Considere la posibilidad de $\sup \{t\in [0,1]: tx_2+(1-t)x_1 \in A \}$. Llamar a esto $a$. Utilizando el hecho de que $sx_2+(1-s)x_1 \in A^{c}$ para todos los $s>a$ a la conclusión de que $ax_2+(1-a)x_1 \in B $. Ahora uso el hecho de que $B$ está abierto para obtener la contradicción que $sx_2+(1-s)x_1 \in B$ para $s<a$ y lo suficientemente cerca de a $a$ contradiciendo la definición de $a$.

Answer 3

Sugerencia: se puede describir el segmento de línea que conecta $x_1$ e $x_2$ por el camino de $\alpha: [0,1] \to C$, donde $\alpha(t) = (1-t)x_1 + tx_2$. Entonces a partir de la $[0,1]$ está conectado, y $\alpha$ es continua, $\alpha([0,1])$ - aka, el segmento de línea que une estos dos puntos - también debe estar conectado. (Espero que usted puede utilizar rutas de acceso, si no de ruta de acceso-conexión!)

Puede usted ver, donde ir de allí?