Soluciones de$x^2+3y^2=p$ para$p$ prime

Question

$x^2+3y^2=p \; \;$ para $p$ prime mayor que $3$ tiene una solución si y solo si $p\equiv 1\pmod 3$

Se supone que debo usar el hecho de que el número de clase de $\mathbb Q(\sqrt-3)$ es 1.

Ya tengo la primera dirección.

Apreciaría si alguien pudiera señalarme la respuesta correcta (sugerencias) para la segunda dirección.

Answer 1

Desde $p$ estipulado para ser un primer número en $\mathbb Z$ mayor que 3, sabemos que $p \not \equiv 0 \pmod 3$. Por lo tanto, $p \equiv 1$ o $2 \pmod 3$. Claramente $3y^2 \equiv 0 \pmod 3$, por lo que podemos ignorar $y$ por el momento.

Entonces necesitamos $x$ a ser coprime a 3. Si $x \equiv 1 \pmod 3$, a continuación, $x^2 \equiv 1 \pmod 3$ también. Pero si $x \equiv 2 \pmod 3$, a continuación, $x^2 \equiv 1 \pmod 3$ , de todos modos.

Por ejemplo, $x^2 + 3y^2 = 5$ no tiene soluciones en los enteros. Pero $x^2 + 3y^2 = 7$ hace, por ejemplo, $x = -2$, $y = 1$.

Es esta la dirección en la que te referías?