Encuentra antiderivado$\int (2x^3+x)(\arctan x)^2dx $

Question

Encuentra antiderivado $$\int (2x^3+x)(\arctan x)^2dx $ $

Mi intento: $$\int (2x^3+x)(\arctan x)^2dx =(\arctan x)^2(\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{2}x^2)-\int \frac{2\arctan x}{1+x^2}(\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{2}x^2)dx=(\arctan x)^2(\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{2}x^2)-\int (\arctan x) (x^2)dx= (\arctan x)^2(\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{2}x^2)-\arctan x\cdot \frac{1}{3}x^3-\int (\frac{1}{1+x^2}) (\frac{1}{3}x^3)dx$$
And then I don't know how I can find $ \ int (\ frac {1} {1 + x ^ 2}) (\ frac {1} {3} x ^ 3) dx $ . ¿Me puedes ayudar con eso?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\frac{x^3}{1+x^2}=\frac{x^3+x}{1+x^2}-\frac x{1+x^2}=x-\frac x{1+x^2}.$ $ ¿Puede tomarlo desde aquí?

Answer 2

Deje $t=x^2$ . Su integral es $\int \frac{1}{6}\frac{tdt}{t+1}=\int (1-\frac{1}{t+1})dt=\frac{t}{6}-\int\frac{1}{t+1}dt$ . ¿Puedes tomarlo desde aquí?

Answer 3

$$\int\frac{x^3}{1+x^2}dx = \int\left(\frac{x^2}{2(1+x^2)}\right)2xdx$ $ Usando $u = x^2 \implies du = 2xdx$ $$ = \frac{1}{2}\int\left(1 - \frac{1}{1+u}\right)du = \frac{1}{2}(u - \ln(1+u)) = \boxed{\frac{1}{2}(x^2 - \ln(1+x^2))}$% $