¿Tiene toda partición finita de un espacio topológico un refinamiento finito tal que el cierre de cada bloque es una unión de bloques?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico. Llamamos a una partición $\pi$ de $X$ compatible con la topología, o simplemente compatible, si el cierre de cada bloque es una unión de bloques (en otras palabras, los cierres de los bloques están saturados con respecto a $\pi).$

Por ejemplo, una partición finita compatible $\pi$ de $\mathbb{R}$ se utiliza aquí para representar el problema de cierre-complemento de Kuratowski en $\mathbb{R}$ como un problema en el espacio cociente finito $\mathbb{R}/\pi.$

Pregunta: ¿Cualquier partición finita $\pi$ de un espacio topológico arbitrario $X$ ¿tiene un refinamiento finito compatible?

Hace un tiempo conjeturé aquí que todo espacio finito conectado $X$ es homeomorfo a $\mathbb{R}/\pi$ para alguna partición compatible $\pi$ de $\mathbb{R}.$ He comprobado en una respuesta que esto es válido para todos los conectados $X$ tal que $|X|\leq5.$

Answer 1

No. Por ejemplo, dejemos que $X=\mathbb{N}$ con la topología tal que $C$ es cerrado si $x\in C$ implica $y\in C$ para todos $y\geq x$ . Considere la partición $\pi$ formado por los números pares y los números Impares. Dado cualquier refinamiento finito $\rho$ de $\pi$ , dejemos que $A$ sea el bloque de $\rho$ con el mayor elemento menor; que $n$ sea el menor elemento de $A$ . Entonces $n+1\in\overline{A}$ pero $n+1\not\in A$ desde $n+1$ y $n$ tienen una paridad diferente. Sea $B\in\rho$ sea tal que $n+1\in B$ . Por nuestra elección de $A$ , $n+1$ no puede ser el menor elemento de su bloque $B$ , por lo que hay algo de $m\in B$ tal que $m<n$ . Pero entonces $m\not\in\overline{A}$ Así que $B$ se cruza con $\overline{A}$ pero no está contenida en ella. Así, $\rho$ no es compatible con la topología.