¿Es la propiedad artiniana dual a la propiedad noetheriana?

Question

Si $R$ es un anillo y $M$ es una izquierda $R$ -se dice que $M$ es noetheriano siempre que satisfaga alguna de las condiciones equivalentes:

1N. Toda cadena ascendente (bajo inclusión en el subespacio) de submódulos de $M$ se estabiliza,

2N. Toda colección no vacía de submódulos de $M$ tiene un elemento máximo bajo la inclusión del subespacio,

3N. Cada submódulo de $M$ está generada finitamente.

Mientras decimos que $M$ es artiniano siempre que satisfaga alguna de las condiciones equivalentes:

1A. Toda cadena descendente (bajo inclusión en el subespacio) de submódulos de $M$ se estabiliza,

2A. Toda colección no vacía de submódulos de $M$ tiene un elemento mínimo bajo la inclusión del subespacio.

Parece ser que las condiciones 1N y 1A son duales, mientras que las condiciones 2N y 2A también lo son. Sin embargo, no se me ocurre ninguna propiedad de los módulos artinianos que parezca obviamente dual a la condición 3N.

Mi pregunta es si existe o no tal condición.

Answer 1

Mi pregunta es si existe o no tal condición.

Sí. El 3A debería ser

Todo módulo cociente de $M$ es finitamente cogenerado .

La cogeneración finita es fácil de entender si primero se reformula la generación finita de esta manera:

Un módulo está finitamente generado si para cada cadena de submódulos $N_0\subseteq N_1\subseteq N_2\ldots$ tal que $\cup_{i\in I} N_i=M$ , existe necesariamente un subconjunto finito $F\subseteq I$ tal que $\cup_{i\in F} N_i=M$ .

Entonces

Un módulo es finitamente cogenerado si para cada cadena de submódulos $N_0\supseteq N_1\supseteq N_2\ldots$ tal que $\cap_{i\in I} N_i=\{0\}$ , existe necesariamente un subconjunto finito $F\subset I$ tal que $\cap_{i\in F} N_i=\{0\}$ .