Sobre matrices cuyas sumas de fila y columna son 0

Question

Creo que el siguiente teorema es verdadero, pero no estoy seguro

Deje $(A_{ij})$ ser distinto de cero $m\times n$ matriz de números reales tales que la suma de las entradas de cada fila y cada columna es $0$. Probar que existen índices de $i_1,j_1,i_2,j_2$ con $i_1\neq i_2$ e $j_1\neq j_2$ tales que \begin{equation} A_{i_1j_1}>0, A_{i_2j_2}>0, A_{i_1j_2}<0 \text{ and } A_{i_2j_1}<0 \end{equation}

Estoy buscando una prueba o contraejemplo.

Answer 1

Supongamos que hay un contraejemplo $A$. Por supuesto, $A$ tiene un resultado positivo en la entrada. WLOG, decir $a_{11} > 0$. Ya que la suma de la primera fila y la primera columna son tanto $0$, $i,j$ tal que $a_{i1},a_{j1} < 0$. WLOG, decir $i=j=2$. Entonces tenemos $$A = \begin{pmatrix}+ &- & \cdots \\ - & ?& \\ \vdots & & \ddots \\& & & &\end{pmatrix}$$ Observe que $a_{22} < 0$ desde $a_{11} > 0$ e $a_{12},a_{21} < 0$. Ya que la suma de los $2$nd fila y el $2$nd column son tanto $0$, son positivos entradas, respectivamente. WLOG, decir $a_{23},a_{32} > 0$por lo tanto $$A = \begin{pmatrix}+ &- & ?&\cdots \\ - & -&+ & \\ ?& + & ?& &\\ \vdots & & & \ddots \\& & & &\end{pmatrix}$$ Considere la posibilidad de $a_{11},a_{32} > 0$ e $a_{12} < 0$, obtenemos $a_{31} > 0$. Del mismo modo, obtenemos $a_{13} > 0$ desde $a_{11}, a_{23} > 0$ e $a_{21} < 0$; $a_{33} > 0$ desde $a_{23}, a_{32} > 0$ e $a_{22} < 0$. Es decir, $$A = \begin{pmatrix}+ &- & +&\cdots \\ - & -&+ & \\ +& + & +& &\\ \vdots & & & \ddots \\& & & &\end{pmatrix}$$ Usted puede ver que hay un patrón. De hecho, se va para siempre! Esto implica que dichas $A$ no existe.