Dados cuatro puntos, determinar una condición sobre un quinto punto tal que la cónica que los contiene a todos sea una elipse

Question

La imagen de la pregunta si no ves todos los símbolos

Los puntos dados $p_1,p_2,p_3,p_4$ se encuentran en los vértices de un cuadrilátero convexo en el plano afín real.

Estoy buscando una condición explícita sobre el punto $p_5$ necesario y suficiente para la cónica que está determinada por $p_1,p_2,p_3,p_4,p_5$ para ser una elipse.

¿Podría darme una pista, por favor?

Intenté "ir" a $\mathbb P_2$ y cambiar las coordenadas de estos puntos por otras más convenientes (por ejemplo, si $a=(1:a_1,a_2)$ cambiarlo por $(1:1:0)$ ) pero no estoy seguro de que esta transformación conserve la cónica

Answer 1

Siempre se pueden construir dos parábolas que pasen por $p_1$ , $p_2$ , $p_3$ , $p_4$ (verde y rosa en la figura siguiente), cada una de las cuales puede degenerar en un par de líneas paralelas si dos lados opuestos del cuadrilátero $p_1p_2p_3p_4$ son paralelos. Punto $p_5$ determinará una elipse si se encuentra dentro de cualquiera de las parábolas pero no en su intersección.

Esto se deduce del hecho de que cinco puntos determinan siempre una sección cónica, y porque la parábola es un caso límite entre la elipse y la hipérbola: cada vez $p_5$ cruza el límite de una parábola, sección cónica $p_1p_2p_3p_4p_5$ pasa de elipse a hipérbola (o viceversa).

Answer 2

Voy a ampliar mi sugerencia, porque los cálculos en bruto se ponen bastante feos, pero hay una forma razonablemente sencilla de expresar la condición deseada.

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La ecuación de una cónica a través de $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ , $T$ está dada por:

$$\left|\begin{array}{cccccc} x^2 & y^2 & x y & x & y & 1 \\ P_x^2 & P_y^2 & P_x P_y & P_x & P_y & 1 \\ Q_x^2 & Q_y^2 & Q_x Q_y & Q_x & Q_y & 1 \\ R_x^2 & R_y^2 & R_x R_y & R_x & R_y & 1 \\ S_x^2 & S_y^2 & S_x S_y & S_x & S_y & 1 \\ T_x^2 & T_y^2 & T_x T_y & T_x & T_y & 1 \\ \end{array} \right| = 0 \tag{1}$$

Expandiendo el determinante se obtiene una ecuación de la forma $$A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0 \tag{2}$$ Esto representa una elipse cuando $$B^2-4AC < 0 \tag{3}$$ (igualmente, una hipérbola cuando $>0$ y una parábola cuando $=0$ ).

Condición $(3)$ , en $xy$ -coordenadas, resulta ser una expresión en sobre $14,000$ términos. Podemos colapsar un poco la complejidad utilizando un sistema de coordenadas autoinducido; concretamente, utilizaremos coordenadas baricéntricas basado en $\triangle PQR$ (que supondremos no degenerada).

Podemos dar $S$ y $T$ coordenadas respectivas $(s_P:s_Q:s_R)$ y $(t_P:t_Q:t_R)$ . Es decir, podemos escribir $$S = \frac{s_P P + s_Q Q + s_R R}{s_P+s_Q+s_R} \qquad\qquad T = \frac{t_P P + t_Q Q + t_R R}{t_P + t_Q+t_R} \tag{4}$$ Sustitución en $(3)$ reduce la relación a una mera $21$ términos (y un factor descartable correspondiente al área de $\triangle PQR$ ). Esto es mejor, pero sigue siendo un poco sucio. Sin embargo, se limpia muy bien cuando se alternan los elementos; definiendo $x' := 1/x$ podemos escribir

$$\begin{align} &\phantom{4}\left( s^{\prime}_P t^{\prime}_Q + s^{\prime}_Q t^{\prime}_R + s^{\prime}_R t^{\prime}_P + s^{\prime}_Q t^{\prime}_P + s^{\prime}_R t^{\prime}_Q + s^{\prime}_P t^{\prime}_R \right)^2 \\[4pt] <\; &4 \left(s^{\prime}_P s^{\prime}_Q + s^{\prime}_Q s^{\prime}_R + s^{\prime}_R s^{\prime}_P \right) \left(t^{\prime}_P t^{\prime}_Q + t^{\prime}_Q t^{\prime}_R + t^{\prime}_R t^{\prime}_P \right) \\ \left(\quad =\; \right. & \frac{4}{s_P s_Q s_R\,t_P t_Q t_R}\left.\left(s_P+s_Q+s_R\right)\left(t_P+t_Q+t_R\right)\quad\right) \end{align} \tag{$\star$}$$

Si sabemos $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ (y por lo tanto $s_P$ , $s_Q$ , $s_R$ y $s^\prime_P$ , $s^\prime_Q$ , $s^\prime_R$ ), entonces $(\star)$ da una condición sobre los parámetros que definen $T$ .

(Probablemente hay una buena interpretación proyectiva de $(\star)$ que podría haber ahorrado todo el trabajo de derivación. :)

Answer 3

Añadiendo a la respuesta directa en términos de parábolas: Si se reduce a regla y compás o simplemente no quieres dibujar realmente las dos parábolas delimitadoras, puedes transformar el problema en uno geométricamente más sencillo.

El método descrito a continuación lo hace. Se puede ampliar para encontrar las pendientes de las asíntotas (si las hay) y de los ejes principales cuando se dan cinco puntos de una sección cónica.

Para simplificar la descripción, asumo un contexto de geometría proyectiva. Así, puedo hablar de puntos en el infinito y el línea en el infinito . Los puntos en el infinito se producen como intersecciones de líneas paralelas y pueden interpretarse como pendientes de dichas rectas. Un punto es en el infinito si y sólo si se encuentra en el línea en el infinito .

Reetiqueta $p_1,\ldots,p_4$ a $A,B,C,D$ . Cualquier permutación es admisible. (Algunos detalles dependerán de la permutación, pero el resultado global no). Permítanme también cambiar el nombre de $p_5$ a $E$ . Utilizaremos $ABC$ como triángulo de referencia abajo.

En relación con ese triángulo de referencia $ABC$ existe una transformación de puntos llamada conjugación isogonal . La transformación inversa es de nuevo la conjugación isogonal. Sin embargo, la conjugación isogonal de los vértices $A,B,C$ es indefinido. Por lo tanto, la conjugación isogonal es una biyección sólo para los puntos fuera de las líneas $\overline{AB}$ , $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ . En nuestro caso, las singularidades resultantes pueden eliminarse por continuidad.

Encontrar el conjugado isogonal de un punto se puede hacer usando sólo regla y brújula. Además:

• Aplicando la conjugación isogonal a los puntos de una recta se obtiene una sección cónica que pasa por $A,B,C$ (a circuncónico de $ABC$ ), y toda circuncónica no degenerada de $ABC$ puede obtenerse así.
• En particular, aplicando la conjugación isogonal a todos los puntos en el infinito (es decir, la línea en el infinito) se obtiene la circunferencia de $ABC$ .
• Extensión: La pendiente de una recta (es decir, su punto en el infinito) determina las pendientes de los ejes principales de la circuncónica obtenida por la conjugación conjugación isogonal de la recta.

Puntos dados $D,E$ podemos construir sus conjugados isogonales $D',E'$ y unirlos con una línea $g = \overline{D'E'}$ . Esa línea es la conjugada isogonal puntual de la sección cónica que pasa por $A,B,C,D,E$ .

(Ahora podría colocar un punto $F'$ arbitrariamente en $g$ y construir su conjugado isogonal $F$ para obtener otro punto de la cónica).

Consideremos ahora los siguientes casos:

1. Si la línea $g$ pasa por uno de los vértices del triángulo de referencia $ABC$ Por ejemplo $A$ entonces la conjugación isogonal se encuentra con una singularidad. Sin embargo, algebraicamente, todavía podemos argumentar que existe una única correspondiente circuncónica, degenerada en un par de líneas, una de las cuales pasa por ese mismo vértice $A$ y el otro coincide con el lado opuesto $\overline{BC}$ .

   En consecuencia, para una línea que pasa por dos vértices, por ejemplo $\overline{AB}$ la la cónica correspondiente está formada por los otros dos lados extendidos $\overline{BC}, \overline{CA}$ .

2. Si $g$ se cruza con la circunferencia $U$ de $ABC$ en dos puntos reales distintos $P_1',P_2'$ esto significa que la cónica correspondiente interseca la línea en el infinito en dos puntos distintos $P_1,P_2$ (en el infinito). Una cónica con dos puntos distintos en el infinito es una hipérbola (posiblemente degenerada en un par de rectas no paralelas si se da el caso 1), y esos puntos en el infinito identifican las pendientes de sus asíntotas.

   Extensión: $P_1,P_2$ pueden obtenerse como conjugados isogonales de $P_1',P_2'$ . Al desglosar esto en pasos más elementales, cada $P_i$ surgirá como intersección de líneas paralelas. Como sólo necesitas conocer la pendiente asociada, has terminado tan pronto como hayas construido una de esas líneas.

3. Si $g$ toca la circunferencia $U$ de $ABC$ en un punto real $P'$ , esto significa que la cónica correspondiente tiene un punto doble $P$ en el infinito. Tal cónica es una parábola (posiblemente degenerada en un par de rectas paralelas si se aplica el caso 1), y su punto en el infinito da la pendiente del eje de simetría de la parábola.

4. Si $g$ no intersecta la circunferencia $U$ de $ABC$ , esto significa que la cónica correspondiente no contiene ningún punto en el infinito. Dicha cónica es una elipse.

Extensión: si $g$ no es la línea del infinito, las pendientes de los ejes principales de la circuncónica correspondiente pueden obtenerse determinando los puntos $H_1',H_2'$ en la circunferencia $U$ con tangentes paralelas a $g$ y transformarlos de nuevo en puntos $H_1,H_2$ en el infinito.

La solución a su problema es, por tanto, construir la isogonal conjugada $D'$ de $D$ y sus tangentes a la circunferencia $U$ de $ABC$ . Entonces, cuando se da otro punto $E$ de la cónica, construir su isogonal conjugada conjugada $E'$ y comprobar si $\overline{D'E'}$ se cruza con $U$ . La región para $E'$ donde dicha intersección ocurre está delimitada por las tangentes a $U$ a través de $D'$ y está coloreado en verde en la figura siguiente.

• Si $E'$ está dentro de la región verde, la cónica es una hipérbola, posiblemente degenerada en un par de líneas no paralelas (si $\overline{D'E'}$ intersecta un vértice de $ABC$ ).
• Si $E'$ se encuentra en una tangente límite, la cónica es una parábola, posiblemente degenerada en un par de líneas paralelas (si el punto de tangencia es un vértice de $ABC$ ).
• En caso contrario, la cónica es una elipse.

Para que existan esas tangentes limítrofes, $D'$ no debe estar dentro de $U$ . La conjugación isogonal traduce este requisito en $A,B,C,D$ siendo vértices de un 4-gon convexo, como se indica en el enunciado del problema.