¿Es posible determinar $P(21)$ , si $P(x)$ es un polinomio de 2º grado, $P(11)=151$ y para todos $x\in\Bbb R$ , $x^2-2x+2\le P(x)\le2x^2-4x+3$ ?

Question

Me dieron lo siguiente:

Dado que $P(x)$ es un polinomio de segundo grado, y que $P(11)=151$ y que $$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, x^2-2x+2 \le P(x) \le 2x^2-4x+3$$ determinar $P(21)$ .

¿Por dónde empiezo?

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¿Hay alguna fuente (en línea o un libro) donde pueda encontrar preguntas de prueba similares sobre polinomios? (Pruebas no en el sentido de preguntas tipo Putnam, sino en el sentido de que son algo diferentes a las que se encuentran en los libros de texto).

Answer 1

El gráfico ayuda a conceptualizar por qué esto es información suficiente; las cuadráticas delimitadoras dadas comparten un mínimo en $(1,1)$ . Para que se cumpla la desigualdad, $P(x)$ también debe tener su mínimo en $(1,1)$ y sólo hay una parábola que pasa por $(11,151)$ con ese mínimo.

Como el mínimo está en $(1,1)$ , $P(x)=a(x-1)^2+1$ .

$$P(11)=151$$ $$100a+1=151$$ $$a=1.5$$

Answer 2

Se nos da que $(1-x)^{2}+1 \leq P(x) \leq 2(1-x)^{2}+1$ . Sea $Q(x)=P(x)-1-(1-x)^{2}$ . Entonces $0 \leq Q(x) \leq (1-x)^{2}$ y $Q$ también es un polinomio de grado $2$ . Esto implica que $Q(x)=c(1-x)^{2}$ para alguna constante $c$ . ¿Puedes terminar desde aquí?

Answer 3

Obsérvese que la condición dada puede escribirse como $$(x-1)^2\leq P(x)-1\leq 2(x-1)^2$$ Así que esto obliga automáticamente a $P(x)-1$ para tener una raíz repetida en $x=1$ Por lo tanto $P(x)=\lambda (x-1)^2+1$ (ya que $\deg P=2$ ) para algunos $1\leq\lambda\leq 2$ . Ahora usa $P(11)$ para determinar $\lambda$ Por lo tanto $P(21)$ .

Answer 4

$$P(x)=ax^2+bx+c$$ así que $$151 = 121a +11b+c$$

$$(x-1)^2+1\leq P(x)\leq 2(x-1)^2+1\implies P(1) = 1$$

así que $$a+b+c=1$$

así que $$120a+10b= 150\implies 12a+b=15$$ y $$P(x) = (x-1)(ax+a+b)+1$$

así que $$x-1\leq ax+a+b\leq 2(x-1)$$ $$\implies x=1:\;\;\;2a+b=0$$

Así que $a={3\over 2}$ , $b=-3$ y $c={5\over 2}$ así que $P(21) = 601$ .