¿Es este un grupo? Si es así, ¿qué grupo es?

Question

Tengo el siguiente grupo (al menos, creo que es un grupo) generado por $\langle a,b,c \rangle$ cuando la operación $\cdot$ obedece a las siguientes reglas:

1. $a^2=b^2=c^2=1$ (donde $1$ es la identidad).

2. $\cdot$ es asociativa.

3. $(cb)(bc) = (bc)(cb) = 1$,

4. $(bc)^3 = (cb)^3 = 1$,

5. $(bc)^2 = cb$,

6. $(bcb)^2 = 1$,

7. $cbc = bcb$,

8. $\forall x, \space xa = ax$.

Algunos de estos podrían ser redundantes, lo cual está bien, pero es obviamente un problema si no hay una contradicción, pero no puedo encontrar uno.

A partir de estas reglas, creo que este es un grupo de orden 12 con los elementos $\{1,a,b,c,ab,ac,bc,cb,abc,acb,bcb,abcb\}$.

Sin embargo, he estado mirando los grupos de orden 12, y este no parece ser isomorfo a alguno de ellos. No Abelian, que se estrecha hacia abajo a la Alternancia de Grupo, el Diedro del Grupo, y la Dicyclic Grupo.

No es la Alternancia de Grupo, ya que sólo tiene 3 elementos que la plaza de a $1$, mientras que mi grupo tiene 8 que hacer ($\{1,a,b,c,ab,ac,bcb,abcb\}$).

El Diedro Grupo tiene la cantidad correcta de elementos que la plaza de a $1$, pero tiene un orden de 6 de elemento, que mi grupo no tiene.

Yo no había oído hablar de la Dicyclic Grupo hasta el día de hoy, y he estado teniendo problemas para encontrar información sobre él, pero también parece que tiene un orden de 6 de elemento.

Entonces, ¿qué estoy haciendo mal aquí?

Así que no me pierda algo de aquí y de hecho es isomorfo a uno de estos grupos?

Es mi grupo mal definido, para empezar?

Es bien definido, pero no es un grupo? (Estoy casi seguro de que este no lo es, porque me obligó a la operación asociativa, y tengo una identidad, y todo parece haber una relación inversa.)

No me calcular mal el número de elementos?

O algún otro error en su totalidad?

Answer 1

Sí, este es un grupo de orden 12. Ya tenemos el cierre, la asociatividad, la identidad, sólo se necesita la verificación de los inversos. La razón por la que todo el mundo tiene una inversa es debido al hecho de que $a$, $b$, e $c$ tienen inversas y son los generadores de nuestro grupo! Por tanto, cualquier elemento, tales como $abcb$ tiene inverso $bcba$, ya que la multiplicación por este elemento hace que el individuo $a, b,$ e $c$ términos para cancelar. Ahora, como para la orden de 12, $\langle b,c | b^2,c^2\rangle\cong\mathbb{Z}_2\ast\mathbb{Z}_2\cong\mathbb{Z}\rtimes\mathbb{Z}_2$. Identificamos $\langle bc\rangle$ con $\mathbb{Z}$ e $\langle b\rangle$ con $\mathbb{Z}_2$. Además, $\langle b,c|b^2,c^2,(bc)^3\rangle\cong\mathbb{Z}_3\rtimes\mathbb{Z}_2\cong D_3$. Por lo tanto $\langle a,b,c|b^2,c^2,(ab)^3,[a,b],[a,c]\rangle\cong\mathbb{Z}_2\oplus D_3$, que tiene orden de 12.

Se mencionó que sería la pena para explicar por qué la $\mathbb{Z}_2\oplus D_3\cong D_6$. Tenga en cuenta que $\mathbb{Z}_2$ representa el $0^\circ$ de la rotación y de la $180^\circ$ rotación, rotación, conmuta con todo en el subgrupo de $D_3$ de $D_6$.