Ejemplo en teoría de medidas sobre medidas de Borel

Question

Necesito mostrar que hay $\sigma$ - medidas finitas distintas en $B(\mathbb{R})$ que son iguales en los conjuntos abiertos. Realmente no veo un buen ejemplo porque cada conjunto abierto es una unión contable de conjuntos compactos, por lo que la suma debe ser la misma, pero tienen que intercambiarse ellos mismos. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Para un número real $x\in\mathbb R$ tome $\mu_x(A)=\int_{A}\frac{\mathrm dt}{t^2}+x\delta_0(A)$

A continuación, $\mathbb R=\{0\}\cup \bigcup_n\left(]-\infty,-\frac1n[\cup]\frac1n,+\infty[\right)$ y cada subconjunto ha finito medida de lo $\mu_x$ es $\sigma$-finito. También está claro que todos los $\mu_x$ tiene el mismo valor en un conjunto abierto que no contenga $0$, y es infinito, tan pronto como $0$ es en el conjunto abierto, de modo que todos los $\mu_x$ coinciden en todos los subconjuntos abiertos pero no son iguales.

Gracias Kavi Rama Murthy para darse cuenta de que mi anterior respuesta es incorrecta.

Answer 2

Creo que encontré un ejemplo. Si consideramos $\mu(A) = \# (\mathbb{Q} \cap A)$ y $\nu(A) = \# (A \cap(\mathbb{Q}\cup \sqrt{2}))$ .