Una topología sobre$\Bbb N$ basada en la convergencia de series.

Question

Definir $\tau=\{U\subseteq \Bbb N:U\in\{\Bbb N,\emptyset\}\vee\sum_{n\notin U}n^{-1}<\infty\}$. En otras palabras, un subconjunto de a$\Bbb N$ se cierra el fib es $\Bbb N$ o de la suma de los inversos de sus elementos converge. He probado hasta ahora (sin mucho esfuerzo):

• $\tau$ es una topología sobre $\Bbb N$.
• Los únicos están cerrados.
• Un conjunto es compacto si es finito.
• Una secuencia converge iff es finalmente constante (esto es el "más difícil" de hecho, me resultó acerca de esta topología; no es demasiado difícil, aunque).
• El espacio no es Hausdorff, pero está conectado.

Me gustaría saber si hay más de lo que a primera vista en esta topología, es decir, si tiene más propiedades y si tiene algún uso en la teoría de números o algo.

Answer 1

El espacio topológico $(\mathbb{N},\tau)$ está conectado. Prueba. suponga que $\mathbb{N}=A\sqcup B$ con $A,B\neq\varnothing$ y $A,B\in\tau$ . Por definición de $\tau$ , simultáneamente tenemos $$\sum_{n\in A}n^{-1}<\infty,\,\sum_{n\in B}n^{-1}<\infty$$ which is clearly impossible, because it is well known that the harmonic series $$\sum_{n\in\mathbb{N}}n^{-1}$ $ diverges.