El 5/8 teorema para grupos compactos que dice lo siguiente:
Teorema (5/8 Teorema para Grupos Compactos) Deje $G$ ser un compacto Hausdorff topológica de un grupo con la medida de Haar $\mu$. Si $G$ no es abelian entonces la probabilidad de que dos elementos de la $G$ viaje es en la mayoría de las $5/8$. Más precisamente, si $G$ no es abelian, a continuación, $$(\mu \times \mu)(\{(g,g') \in G \times G : [g,g'] = e\}) \leq 5/8.$$
Si no te importa o ya sabemos cómo está demostrado, saltar hacia abajo en la página, más allá de la próxima regla horizontal.
Lema 1. Deje $G$ ser un compacto Hausdorff topológico grupo con un Borel subgrupo $H$. Deje $\mu$ ser la medida de Haar en $G$. A continuación, $\mu(H) = 1/[G:H]$ (esto es $0$ , por convención, cuando se $[G:H]$ es infinito).
La prueba del Lema 1: Los cosets de $H$ partición $G$, y todos tienen la misma medida por la traducción invariancia de $\mu$. Si hay un número finito de cosets, el resultado se sigue directamente de la suma de $\mu$. Si hay infinitamente muchos cosets, supongamos por contradicción que $\mu(H) > 0$, y elegir cualquier secuencia $(C_n)_{n \geq 0}$ de distinta cosets de $H$. Entonces $$1 = \mu(G) \geq \mu\left(\bigcup_{n \geq 0} C_n\right) = \sum_{n = 0}^\infty \mu(C_n) = \sum_{n=0}^\infty \mu(H) = \infty,$$ una contradicción.
Lema 2. Deje $G$ ser un grupo tal que $G/Z(G)$ es cíclico. A continuación, $G$ es abelian.
La prueba del Lema 2: Deje $g \in G$ tal que $gZ(G)$ genera $G/Z(G)$. Deje $x,y \in G$ ser arbitraria. A continuación, $x \in g^nZ(G)$, $y \in g^mZ(G)$ para algunos $n,m \in \mathbb{Z}$. Escribir $x = g^n z$, $y = g^m z'$ para algunos $z, z' \in Z(G)$. Desde $g$, $z$, e $z'$ pares de viaje, $x$ e $y$ viaje.
La prueba del Teorema:Vamos a $$X = \{(g,g') \in G \times G : [g,g'] = e\} = \{(g,g') \in G \times G : g' \in Z(g)\},$$ donde $Z(g)$ denota el centralizador de $g$ en $G$. Por el Teorema de Fubini, la medida de la $X$ (lo que pretendemos mostrar es que en la mayoría de $5/8$) es igual a $\int_G \mu(Z(g)) \; \mathrm{d}\mu(g)$. El centro de $G$ (que vamos a denotar por $Z$) es cerrado, ya que puede ser escrito de la intersección de conjuntos cerrados $\bigcap_{g \in G} Z(g)$ ($Z(g)$ es la inversa de la imagen de $\{e\}$ bajo la continua mapa de $x \mapsto xgx^{-1} : G \to G$). Por lo tanto, $$\begin{multline*}\mu(X) = \int_G \mu(Z(g)) \;\mathrm{d}\mu(g) = \int_Z \mu(Z(g)) \;\mathrm{d}\mu(g) + \int_{G \setminus Z} \mu(Z(g)) \;\mathrm{d}\mu(g)\\ = \mu(Z) + \int_{G \setminus Z} \mu(Z(g)) \;\mathrm{d}\mu(g).\end{multline*}$$ Si $g \in G\setminus Z$ entonces $Z(g) \neq G$, lo $[G : Z(g)] \geq 2$, lo $\mu(Z(g)) \leq 1/2$ por el Lema 1. Esto significa que $$\mu(X) \leq \mu(Z) + \frac{1}{2}\mu(G \setminus Z) = \mu(Z) + \frac{1}{2}\left(1 - \mu(Z)\right) = \frac{\mu(Z) + 1}{2}.$$ Por el Lema 2, debemos tener $[G : Z] \geq 4$ (o más $G/Z$ sería cíclico), así, por el Lema 1 de nuevo, tenemos $\mu(Z) \leq 1/4$. Por lo tanto, $\mu(X) \leq 5/8$, como se desee.
Corolario (5/8 Teorema de Grupos Finitos) Deje $G$ ser un grupo finito. Si la probabilidad de que dos elegidos al azar de los elementos de $G$ viaje es mayor que $5/8$, a continuación, $G$ es abelian.
Mi pregunta es esta: ¿hay aplicaciones interesantes de este resultado?
Interesantes ejemplos pueden incluir:
Un número finito (o compacto) grupo que no es, obviamente, abelian, pero para el que es relativamente fácil de probar que los elementos que conmutan con una probabilidad >5/8.
No abelian grupo que no tiene compacto Hausdorff topología de que lo que en un grupo topológico porque "demasiados pares de elementos de viajar" (es decir, una prueba por contradicción de que no topología existe, utilizando el resultado de la 5/8 Teorema).
Estos son los tipos de aplicaciones que yo era capaz de imaginar, pero probablemente hay muchos otros; yo estaría interesado en saber si alguien ha llegado a través de cualquier aplicación de la 5/8 Teorema!
