Si$u_1=1$ y$u_{n+1} = n+\sum_{k=1}^n u_k^2$, entonces$u_n$ nunca es un cuadrado.

Question

Lindo problema que vi en quora:

Si $$u_1 = 1,\qquad u_{n+1} = n+\sum_{k=1}^n u_k^2 $$ muestran que, para $n \ge 2$, $u_n$ nunca es un cuadrado.

\begin{align} n&=1:& u_2 &= 1+1 = 2\\ n&=2:& u_3 &= 2+1+4 = 7\\ n&=3:& u_4 &= 3+1+4+49 = 57\\ \end{align}

Y, como de costumbre, Tengo una generalización:

Si $$a \ge 1,\quad b \ge 0,\quad u_1 = 1,\quad u_{n+1} = an+b+\sum_{k=1}^n u_k^2,$$ donde $a, b \in \mathbb{Z}$, luego para $n \ge 3$, $u_n$ nunca es un cuadrado.

Nota: Mis soluciones a estos no implican cualquier expresiones explícitas para el $u_n$.

Answer 1

La recurrencia se puede reescribir como \begin{eqnarray*} u_{n+1}=u_n^2+u_n+1. \end {eqnarray *} Es fácil mostrar que \begin{eqnarray*} u_n^2 < u_{n+1} <(u_n+1)^2. \end {eqnarray *} Ahora observe que no hay números enteros entre $u_n$ & $u_n+1$ .

Answer 2

El problema, en efecto, es muy lindo.

Sólo tenemos que comprobar la condición de $\textrm{mod } 5$: $$u_1 \equiv 1 \textrm{ mod } 5$$ $$u_2 \equiv 2 \textrm{ mod } 5$$ $$u_3 \equiv 2 \textrm{ mod } 5$$ etc.

Por lo tanto, se puede demostrar por inducción que para todo $n \in \mathbb{N}$: $$u_{n+1} \equiv \left[ n+1+\sum_{j=2}^n (-1) \right] \textrm{ mod } 5 \equiv 2 \textrm{ mod } 5.$$ El último nunca es verdadera para plazas, ya que las plazas son igual a 0,1 o 4 mod 5.

Para demostrar la generalización, utilizamos la recurrencia de la relación tipo de $$u_{n+1} = u_n^2+u_n+a.$$ Observe que $u_{n+1}>u_n^2$ desde $a>0$.

Por lo tanto, si $u_{n+1}$ es un cuadrado perfecto, entonces $a\geq u_n+1 > u_n$.

Pero $a>u_n$ es imposible, ya que para cualquier $n \geq 3$: $$u_{n} = u_{n-1}^2+u_{n-1}+a >a.$$ Esto nos da una contradicción, por lo $u_n$ nunca es un cuadrado perfecto para cualquier $n\geq 3$.