No puede demostrar una relación de área geométrica entre un triángulo y un paralelogramo

Question

ABCD es un paralelogramo.
Demuestra lo siguiente:

1. $\frac{BF}{FA} = \frac{AD}{AE}$

2. $\frac{S_{ADF}}{S_{AEF}} = \frac{AD}{AE}$

3. $S_{EBF} = S_{ADF}$

4. $S_{BCE} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$

He resuelto los 3 primeros, pero no he podido resolver el cuarto:

1.

$$\text{Thale's theorm:}$$ $$\frac{AE}{CB} = \frac{AF}{FB} = \frac{EF}{FC}$$ $$\frac{AE}{AD} = \frac{EF}{FC}$$ $$\downarrow$$ $$\frac{AE}{CB} = \frac{AF}{FB} = \frac{EF}{FC} = \frac{AE}{AD}$$ $$\frac{AF}{FB} = \frac{AE}{AD}$$ $$\downarrow$$ $$\boxed{\frac{FB}{AF} = \frac{AD}{AE}}$$

2.

$$\text{Let P be a point on ED such that FP will be perpendicular to ED.}$$ $$\div\begin{cases} S_{AEF} = \frac{AE\cdot FP}{2} \\ S_{ADF} = \frac{AD\cdot FP}{2}\end{cases}$$ $$\frac{S_{AEF}}{S_{ADF}} =\frac{AE}{AD}$$ $$\downarrow$$ $$\boxed{\frac{S_{ADF}}{S_{AEF}} =\frac{AD}{AE}}$$

3. $$\text{Let G be a point on AB such that EG will be perpendicular to AB. Then:}$$ $$\frac{S_{AEF}}{S_{EFB}} = \frac{\frac{AF\cdot EG}{2}}{\frac{FB\cdot EG}{2}} = \frac{AF}{FB} = \frac{AE}{AD} = \frac{S_{AEF}}{S_{ADF}}$$ $$\frac{S_{AEF}}{S_{EFB}} = \frac{S_{AEF}}{S_{ADF}}$$ $$\downarrow$$ $$\frac{S_{EFB}}{S_{AEF}} = \frac{S_{ADF}}{S_{AEF}}$$ $$\boxed{S_{EFB} = S_{ADF}}$$

4. No tengo ni idea. No veo ninguna forma de crear una relación entre las áreas del triángulo y del paralelogramo. He pensado en intentar demostrar de alguna manera que el área de BCE es idéntica a la de BCD o BAD, pero tampoco he encontrado la forma de relacionarlas, ya que no tienen una perpendicular compartida.

Answer 1

La AD es paralela a la BC. Por lo tanto, las perpendiculares de A y E a BC tendrán la misma longitud, llámese $h$ . Así, $S_{BCE} = S_{BCA} = \frac{1}{2}h BC$ . Pero $S_{BCA} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$ ya que es exactamente la mitad del paralelogramo, y el enunciado sigue.